השיעור עוסק בחוקים ובתבניות של אינטגרלים של פונקציות מעריכיות והצגת דרכי גזירה והובלה של פונקציות לאינטגרלים מוכרים, תוך דגש על תבניות נוקשות ועל חילוץ המקדם החופף לישר בתוך האינטגרל.
להבין ולבצע אינטגרלים של פונקציות מעריכיות.
להכיר ולהשתמש בתבניות אינטגרציה מחמירות.
לזהות מתי פונקציה דורשת הובלה לתבנית מוכרת.
לזכור לחלק במקדם הישר בקדמת הפונקציה בעת חישוב אינטגרל.
להבחין במגבלות האינטגרציה - אינטגרלים של מכפלות, מנות ושורשים מחוץ להיקף הנלמד.
תזכורת אינטגרלים בסיסיים: סקירה של תבניות אינטגרלים מוכרות עבור פונקציות מעריכיות ועל חיבור של מקדמים ומשתנים בלוגריתמים.
דוגמה ותרגיל אינטגרלי מעריכי: הצגת תרגיל עם סכום אינטגרלים של פונקציות מעריכיות ופירוט כיצד לבצע כל אינטגרל בנפרד תוך שימוש בתבניות.
השלמות והגבלות באינטגרלים: הדגשה כי לא קיימים חוקים לאינטגרל של מכפלות, מנות או שורשים שלא מובלים לתבניות מוכרות באינטגרלים אלה.

תרגול קצר

אינטגרל של פונקציית מעריכית פשוטה

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את האינטגרל של הפונקציה 3 כפול 2 בחזקת x ועוד 5 כפול 3 בחזקת 2x

אינטגרליםפונקציות מעריכיותתבניות אינטגרל

רמז: זהה את תבניות האינטגרל, תזכור לחלק במקדם הישר ולשמור על המקדמים.

פתרון מלא

תשובה סופית: 3 כפול 2 בחזקת x חלקי ln(2) ועוד 5 כפול 3 בחזקת 2x חלקי (2 ln(3)) ועוד C

הפרד את האינטגרל לסכום של שני אינטגרלים: ∫ 3 * 2^x dx + ∫ 5 * 3^{2x} dx נחשב כל אינטגרל בנפרד: 1) ∫ 3 * 2^x dx = 3 * (2^x) / ln(2) + C 2) ∫ 5 * 3^{2x} dx = 5 * (3^{2x}) / (2 ln(3)) + C סיכום: 3*(2^x)/ln(2) + 5*(3^{2x})/(2 ln(3)) + C

אינטגרל של פונקציה הכוללת חלקים מעריכיים

רמת קושי: בינוני

ממתין

חשב את האינטגרל של הביטוי (2 כפול 2 בחזקת x) ועוד (5 כפול 3 בחזקת 2x) ועוד (1 חלקי e^{3x})

אינטגרליםפונקציות מעריכיותתבניות אינטגרלחזקות שליליות

רמז: ביטוי שלישי דורש להיעזר בחוקי חזקות ולהוביל לתבנית ישר.

פתרון מלא

תשובה סופית: 2 כפול 2 בחזקת x חלקי ln(2) ועוד 5 כפול 3 בחזקת 2x חלקי (2 ln(3)) פחות 1 חלקי 3 כפול e בחזקת -3x ועוד C

האינטגרל הוא סכום של שלושה אינטגרלים: 1) ∫ 2 * 2^x dx = 2 * (2^x) / ln(2) + C 2) ∫ 5 * 3^{2x} dx = 5 * (3^{2x}) / (2 ln(3)) + C 3) ∫ 1/e^{3x} dx = ∫ e^{-3x} dx = e^{-3x} / (-3) + C = -1/3 e^{-3x} + C סיכום כל האינטגרלים: 2*(2^x)/ln(2) + 5*(3^{2x})/(2 ln(3)) - (1/3) e^{-3x} + C

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון אינטגרל מעריכי עם מקדם ישר

איך לחשב ∫ 5 * 3^{2x} dx

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך האינטגרל ∫ 5 * 3^{2x} dx
נתון 1
הפונקציה: 5 כפול 3 בחזקת 2x
נתון 2
נתון 2
הידוע: אינטגרל של a^(kx) הוא a^(kx) חלקי (k ln a) + C
רעיון
הרעיון המרכזי
נזהה את הישר ב-2x ונחלק באותו המקדם לפני הוספת הקבוע C.
נוסחה
∫ 5 * 3^{2x} dx = 5 * ∫ 3^{2x} dx
אינטגרל של 5 כפול 3 בחזקת 2x שווה ל-5 כפול אינטגרל של 3 בחזקת 2x∫ 5 * 3^(2x) dx = 5 ∫ 3^(2x) dx5 * 3^(2x) dx = 5 3^(2x) dx
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
∫ 3^{2x} dx = 3^{2x} חלקי (2 ln 3) + C
∫ 3^{2x} dx = 3^{2x} חלקי (2 ln 3) + C
ועוד C
תוצאה
מסיימים בתשובה
∫ 5 * 3^{2x} dx = (5 / (2 ln 3)) * 3^{2x} + C
בחזקת 2x ועוד C

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הפונקציה הנתונה

מה עושים

5 כפול 3 בחזקת 2x.

למה

נדרש לחשב את האינטגרל של פונקציה מעריכית עם חזקה כפולה.

הפונקציה היא מכפלה של מקדם קבוע ו-3 בחזקת 2x.

בחירת שיטה

זיהוי הישר במעריכית

מה עושים

החזקה היא 2x - ישר עם מקדם k=2.

למה

החלוקה במקדם k נדרשת לצורך שימוש נכון בחוק האינטגרציה.

כדי לחשב את האינטגרל עלינו להתחלק ב-2 לפני הוספת הקבוע.

בניית משוואה

כתיבת הביטוי לפי תבנית אינטגרל

מה עושים

∫ 5 * 3^{2x} dx = 5 * ∫ 3^{2x} dx

למה

ניתן להוציא את המקדם 5 מחוץ לאינטגרל.

נזכור שהמקדם לא משתנה בזמן חישוב האינטגרל.

נוסחה / הצבה

אינטגרל של 5 כפול 3 בחזקת 2x שווה ל-5 כפול אינטגרל של 3 בחזקת 2x∫ 5 * 3^(2x) dx = 5 ∫ 3^(2x) dx5 * 3^(2x) dx = 5 3^(2x) dx

הוצאת מקדם מספרי מחוץ לאינטגרל.

פתרון

חישוב אינטגרל הפונקציה

מה עושים

∫ 3^{2x} dx = 3^{2x} חלקי (2 ln 3) + C

למה

שימוש בחוק האינטגרל של מעריכית עם ישר.

החלק הראשון של האינטגרל מפיק 3^{2x} חלקי מכפלת המקדם והלוגריתם.

נוסחה / הצבה

אינטגרל של 3 בחזקת 2x שווה ל-3 בחזקת 2x חלקי 2 כפול ln(3)ועוד C∫ 3^(2x) dx = 3^(2x) / (2 * ln(3)) + C3^(2x) dx = (3^(2x))/(2 3) + C

זכור לחלק במקדם הישר בתוך החזקה.

תשובה

התוצאה הסופית של האינטגרל

מה עושים

∫ 5 * 3^{2x} dx = (5 / (2 ln 3)) * 3^{2x} + C

למה

החיבור בין המקדם לבין השבר של האינטגרל לכל הפונקציה.

המקדם 5 נשאר ומוכפל בתוצאה של האינטגרל של 3^{2x}.

נוסחה / הצבה

אינטגרל של 5 כפול 3 בחזקת 2x שווה ל-5 חלקי 2 ln(3) כפול 3בחזקת 2x ועוד C∫ 5 * 3^(2x) dx = (5)/(2 3) 3^(2x) + C5 * 3^(2x) dx = (5)/(2 3) 3^(2x) + C

זכור תמיד להוסיף את הקבוע C.

פתרונות כלליים

אינטגרל של פונקציית מעריכית פשוטה: הפרד את האינטגרל לסכום של שני אינטגרלים: ∫ 3 * 2^x dx + ∫ 5 * 3^{2x} dx נחשב כל אינטגרל בנפרד: 1) ∫ 3 * 2^x dx = 3 * (2^x) / ln(2) + C 2) ∫ 5 * 3^{2x} dx = 5 * (3^{2x}) / (2 ln(3)) + C סיכום: 3*(2^x)/ln(2) + 5*(3^{2x})/(2 ln(3)) + C
אינטגרל של פונקציה הכוללת חלקים מעריכיים: האינטגרל הוא סכום של שלושה אינטגרלים: 1) ∫ 2 * 2^x dx = 2 * (2^x) / ln(2) + C 2) ∫ 5 * 3^{2x} dx = 5 * (3^{2x}) / (2 ln(3)) + C 3) ∫ 1/e^{3x} dx = ∫ e^{-3x} dx = e^{-3x} / (-3) + C = -1/3 e^{-3x} + C סיכום כל האינטגרלים: 2*(2^x)/ln(2) + 5*(3^{2x})/(2 ln(3)) - (1/3) e^{-3x} + C

הפריט הקודם הפריט הבא

א1. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערך האינטגרל ∫ 5 * 3^{2x} dx

הפונקציה: 5 כפול 3 בחזקת 2x

נתון 2

הרעיון המרכזי

∫ 5 * 3^{2x} dx = 5 * ∫ 3^{2x} dx

נבנה משוואה

∫ 3^{2x} dx = 3^{2x} חלקי (2 ln 3) + C

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הפונקציה הנתונה

זיהוי הישר במעריכית

כתיבת הביטוי לפי תבנית אינטגרל

חישוב אינטגרל הפונקציה

התוצאה הסופית של האינטגרל

פתרונות כלליים