וידאו · משוואה טריגונומטרית
ב5. משוואה טריגונומטרית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור זה עוסק בפתרון משוואות טריגונומטריות באמצעות הוצאת גורם משותף, שימוש בשיטת הצבה, וידוע מקרים מיוחדים הנפוצים בבגרות.
- לזהות ולפרק משוואות טריגונומטריות בעזרת הוצאת גורמים משותפים
- להשתמש בשיטת הצבה לפישוט ותיקון משוואות טריגונומטריות
- להבין ולזהות מקרים מיוחדים לפתרון משוואות סינוס וקוסינוס
- להשתמש בקשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות (סינוס, קוסינוס, טנגנס) בפתרון המשוואה
- הוצאת גורם משותף במשוואות טריגונומטריות: משוואות טריגונומטריות ניתן לפרק על ידי הוצאת גורם משותף, שיטות אלו מובילות ליצירת מכפלות וסוגריים הניתנים לפתרון ויחשפו את השורשים.
- שימוש בשיטת הצבה: שיטת הצבה (לדוגמה: הצבת t במקום ביטוי טריגונומטרי) מפשטת ומשנה את המשוואה למשוואה אלגברית ממשית הניתנת לפתרון בדרך מוכרת.
- הכרת מקרים מיוחדים: לעיתים בסינוס או קוסינוס יש ערכים מיוחדים (כגון 0, 1, -1) שקל לזכור ולזהות. מקרים אלה פותרים ומשמשים כשורשים של המשוואות.
תרגול קצר
פתור את המשוואה sin²x + sinx·cosx = 0
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה הטריגונומטרית sin²x + sinx·cosx = 0 עבור x בתחום הריאלי.
רמז: הוצא גורם משותף sinx, קבע כל גורם לאפס ופתור את התוצאות.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = kπ או x = -π/4 + kπ, k ∈ Z
נצא גורם משותף sinx ונקבל: sinx(sinx + cosx) = 0. לכן או sinx = 0 או sinx + cosx = 0. 1. sinx = 0 x = kπ, כאשר k ∈ Z 2. sinx + cosx = 0 sinx = -cosx נחלק ב-cosx (כאשר cosx ≠ 0): tanx = -1 x = -π/4 + kπ, כאשר k ∈ Z לכן הפתרונות הם: x = kπ או x = -π/4 + kπ
פתור את המשוואה 2sin²x - 3sinx + 1 = 0
רמת קושי: בינוני
פתור את המשוואה הטריגונומטרית 2sin²x - 3sinx + 1 = 0 בתחום הריאלי.
רמז: השתמש בשיטת הצבה, הצב t = sinx ופתור משוואה ריבועית ב-t.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = π/2 + 2kπ או x = π/6 + 2kπ או x = 5π/6 + 2kπ, k ∈ Z
הצבה t = sinx המשוואה הופכת ל- 2t² - 3t + 1 = 0 פתור משוואה ריבועית: Δ = (-3)² - 4*2*1 = 9 - 8 = 1 שורשים: t₁ = (3 + 1)/4 = 1 t₂ = (3 - 1)/4 = 1/2 לפי הגדרת sinx: 1. sinx = 1 x = π/2 + 2kπ, k ∈ Z 2. sinx = 1/2 x = π/6 + 2kπ או x = 5π/6 + 2kπ, k ∈ Z
פתור את המשוואה טריגונומטרית מורכבת: 2sin²x - 3sinx + 1 = 0
רמת קושי: בגרות
פתור את המשוואה 2sin²x - 3sinx + 1 = 0 בתחום הריאלי המלא, וציין את כל הפתרונות האפשריים.
רמז: השתמש בהצבה t=sinx כדי לפתור את המשוואה הריבועית, ואז חזור לערך x.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = π/2 + 2kπ, x = π/6 + 2kπ, x = 5π/6 + 2kπ, k ∈ Z
הצבה: t = sinx המשוואה הופכת להיות 2t² - 3t + 1 = 0 פתור משוואה ריבועית ב-t: Δ = 9 - 8 = 1 t₁ = (3 + 1)/4 = 1 t₂ = (3 - 1)/4 = 1/2 לפי טווח סינוס: - sinx = 1 ⇒ x = π/2 + 2kπ - sinx = 1/2 ⇒ x = π/6 + 2kπ או x = 5π/6 + 2kπ כל הפתרונות הם אלו ציינו.
דרך הפתרון
פתרון המשוואה 2sin²x - 3sinx + 1 = 0
הצגת תהליך פתרון פשוט
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ערכי x הממלאים את המשוואה
- נתון 1
נתון 1
המשוואה 2sin²x - 3sinx + 1 = 0 - רעיון
הרעיון המרכזי
נציב t = sinx ונפתור משוואה ריבועית בטי.
- נוסחה
נרשום את המשוואה 2t² - 3t + 1 = 0
2 t^2 - 3 t + 1 = 02t^2 - 3t + 1 = 02t^(2) - 3t + 1 = 0 - משוואה
קיבלנו את המשוואה 2sin²x - 3sinx + 1 = 0
קיבלנו את המשוואה 2sin²x - 3sinx + 1 = 0
- פישוט
נחשב את השורשים t₁ ו-t₂
נחשב את השורשים t₁ ו-t₂
t = (3 ± 1) / 4t = (3 ± 1)/4 - תוצאה
מסיימים בתשובה
הפתרונות הם x = π/2 + 2kπ, x = π/6 + 2kπ, x = 5π/6 + 2kπ
- בדיקה
בדיקה קצרה
- הוצאת הגורם המשותף או הצבה נכונה
- פתרון משוואה ריבועית אלגברית
- זהירות: צמצום מוקדם גורם לאיבוד פתרונות
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
המשוואה הנתונה
זיהוי נתונים
המשוואה הנתונה
מה עושים
קיבלנו את המשוואה 2sin²x - 3sinx + 1 = 0
למה
זו המשוואה שעלינו לפתור
יש לפתור עבור x בתחום הריאלי.
2בחירת שיטה
הצבת t במקום sinx
בחירת שיטה
הצבת t במקום sinx
מה עושים
נגדיר t = sinx
למה
כדי להפוך את המשוואה לריבועית פשוטה יותר
המשוואה תהפוך ל- 2t² - 3t + 1 = 0
שיטה זו נקראת שיטת הצבה.
3בניית משוואה
ייצוג המשוואה הריבועית
בניית משוואה
ייצוג המשוואה הריבועית
מה עושים
נרשום את המשוואה 2t² - 3t + 1 = 0
למה
זו משוואה אלגברית פשוטה לפתרון
נוסחה / הצבה
2 t^2 - 3 t + 1 = 02t^2 - 3t + 1 = 02t^(2) - 3t + 1 = 04פתרון
פתירת המשוואה הריבועית
פתרון
פתירת המשוואה הריבועית
מה עושים
נחשב את השורשים t₁ ו-t₂
למה
כדי למצוא את הערכים של t = sinx
Δ = 1, t₁ = 1, t₂ = 1/2
נוסחה / הצבה
t = (3 ± 1) / 4t = (3 ± 1)/4t = (3 1)/(4)5פתרון
חזרה ל-x בערכים המתאימים
פתרון
חזרה ל-x בערכים המתאימים
מה עושים
נחזיר את t ל- sinx ונמצא את x
למה
כדי לקבל את פתרונות המשוואה המקורית
אם sinx = 1 אז x = π/2 + 2kπ, אם sinx = 1/2 אז x = π/6 + 2kπ או 5π/6 + 2kπ
יש לזכור את הערכים המפורסמים של Sin.
6תשובה
הפתרונות הסופיים
תשובה
הפתרונות הסופיים
מה עושים
הפתרונות הם x = π/2 + 2kπ, x = π/6 + 2kπ, x = 5π/6 + 2kπ
למה
אלה כל הערכים הממלאים את המשוואה
פתרונות כלליים
- פתור את המשוואה sin²x + sinx·cosx = 0: נצא גורם משותף sinx ונקבל: sinx(sinx + cosx) = 0. לכן או sinx = 0 או sinx + cosx = 0. 1. sinx = 0 x = kπ, כאשר k ∈ Z 2. sinx + cosx = 0 sinx = -cosx נחלק ב-cosx (כאשר cosx ≠ 0): tanx = -1 x = -π/4 + kπ, כאשר k ∈ Z לכן הפתרונות הם: x = kπ או x = -π/4 + kπ
- פתור את המשוואה 2sin²x - 3sinx + 1 = 0: הצבה t = sinx המשוואה הופכת ל- 2t² - 3t + 1 = 0 פתור משוואה ריבועית: Δ = (-3)² - 4*2*1 = 9 - 8 = 1 שורשים: t₁ = (3 + 1)/4 = 1 t₂ = (3 - 1)/4 = 1/2 לפי הגדרת sinx: 1. sinx = 1 x = π/2 + 2kπ, k ∈ Z 2. sinx = 1/2 x = π/6 + 2kπ או x = 5π/6 + 2kπ, k ∈ Z
- פתור את המשוואה טריגונומטרית מורכבת: 2sin²x - 3sinx + 1 = 0: הצבה: t = sinx המשוואה הופכת להיות 2t² - 3t + 1 = 0 פתור משוואה ריבועית ב-t: Δ = 9 - 8 = 1 t₁ = (3 + 1)/4 = 1 t₂ = (3 - 1)/4 = 1/2 לפי טווח סינוס: - sinx = 1 ⇒ x = π/2 + 2kπ - sinx = 1/2 ⇒ x = π/6 + 2kπ או x = 5π/6 + 2kπ כל הפתרונות הם אלו ציינו.