וידאו · משוואה טריגונומטרית
ב1. משוואה טריגונומטרית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור זה מלמד כיצד לפתור משוואות טריגונומטריות מסוג סינוס X שווה לערך נתון, במקביל להבנת המגבלות של מחשבון מדעי, וליצירת פתרון כללי הכולל תוספות של סיבובים שלמים של 360 מעלות.
- לפתור משוואה טריגונומטרית סינוס X = ערך נתון
- להבין את גבולות המחשבון בהצגת פתרונות טריגונומטריים
- לכתוב פתרון כללי עם הוספת 360K לכיסוי כל הפתרונות האפשריים
- להשתמש בנוסחה X = α + 360K ו־X = 180 - α + 360K עבור סינוס
- לזהות מתי משוואה אין לה פתרון בתחום הערכים של סינוס
- להיזהר מהוצאת שורש בריבוע ולהביא בחשבון פלוס ומינוס
- פתרון משוואת סינוס X = חצי: השיעור מתחיל בפיתרון סינוס של X שווה חצי, בעזרת מחשבון המדגים כיצד הוא מחזיר זווית אחת בלבד, בעוד שנדרש לכתוב פתרון מלא עם כלל הסיבובים האפשריים.
- הבנת תבניות המטרה: הסבר על החשיבות של תבניות המטרה בפתרון משוואות טריגונומטריות, וההבדל בין תבניות של סינוס לקוסינוס.
- משוואות מורכבות יותר וטיפול בשורשים: הסבר על פתרון משוואות בהן מופיע שורש בריבוע והצורך להתייחס לפלוס ומינוס כאשר מוציאים שורשים, וכן פתרון עם מקדמים בפני המשתנה ונוסחאות תקניות.
תרגול קצר
פתור את המשוואה סינוס X שווה 1/2
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה סינוס X = 1/2 ומצא את כלל הפתרונות הכלליים בתחום כל הזוויות האמיתיות.
רמז: לחשב α = shift sin (1/2) ואז לכתוב את הפתרון הכללי עם 360K ו-180 פחות α.
פתרון מלא
תשובה סופית: X = 30 + 360K או X = 150 + 360K עם K ∈ Z.
α = 30 מעלות. פתרון כללי: X = 30 + 360K X = 180 - 30 + 360K = 150 + 360K כאשר K שייך למספרים השלמים.
פתור את המשוואה סינוס X שווה מינוס שורש מחצי
רמת קושי: בינוני
פתור את המשוואה סינוס X = -√(1/2) ומצא את כלל הפתרונות הכלליים.
רמז: חשב α = shift sin(-√(1/2)) ורשום את התשובה עם 360K ו-180 פחות α, עבור כל K שלם.
פתרון מלא
תשובה סופית: X = -45 + 360K או X = 225 + 360K עם K ∈ Z.
α = -45 מעלות. פתרון כללי: X = -45 + 360K X = 180 - (-45) + 360K = 225 + 360K כאשר K שייך למספרים השלמים.
דרך הפתרון
פתרון משוואת סינוס X = 1/2
כיצד לפתור את המשוואה ולהגיע לפתרון כולל הכלל את כל הזוויות
מפת פתרון
- מטרה
למצוא את כל הערכים האפשריים של X
- נתון 1
נתון 1
סינוס X = 1/2 - רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את הזווית α שהמחשבון נותן ביחס לחצי ונשתמש בנוסחה לפתיחת כלל הפתרונות הכוללים תוספת של
- נוסחה
רושמים את כלל הפתרונות עם תוספת 360 מעלות כפול K
X = α + 360 KX = 180 - α + 360 KX = + 360 KX = 180 - + 360 K - משוואה
סינוס X = 1/2
סינוס X = 1/2
- פישוט
משלבים את הערכים ומציינים את הפתרונות
משלבים את הערכים ומציינים את הפתרונות
- תוצאה
מסיימים בתשובה
מציבים את מה שמצאנו ומנסחים תשובה סופית.
- בדיקה
בדיקה קצרה
- האם חישבת את α במחשבון כראוי?
- האם כתבת את שני הפתרונות בהתאם לנוסחה?
- זהירות: לא להוסיף את 180 מינוס α בחישוב הפתרונות
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
המשוואה
זיהוי נתונים
המשוואה
מה עושים
סינוס X = 1/2
למה
המשוואה אותה יש לפתור עם כלל הפתרונות האפשריים
יש לפתור את המשוואה לגבי X בכל הזוויות האמיתיות.
2בחירת שיטה
מציאת זווית ראשונית α
בחירת שיטה
מציאת זווית ראשונית α
מה עושים
נחשב במחשבון α = shift sin(1/2)
למה
המחשבון מחזיר זווית אחת בתחום 0-360 מעלות
המחשבון יחזיר α = 30 מעלות
המחשבון נותן זווית ראשונית בלבד.
3בניית משוואה
כתיבת הפתרון הכולל
בניית משוואה
כתיבת הפתרון הכולל
מה עושים
רושמים את כלל הפתרונות עם תוספת 360 מעלות כפול K
למה
כדי לכלול את כל הפתרונות במעגל היחידה
נוסחאות: X = α + 360K ו־X = 180 - α + 360K
נוסחה / הצבה
X = α + 360 KX = 180 - α + 360 KX = + 360 KX = 180 - + 360 KK הוא מספר שלם (K ∈ Z)
4פתרון
הצגת הפתרונות הסופיים
פתרון
הצגת הפתרונות הסופיים
מה עושים
משלבים את הערכים ומציינים את הפתרונות
למה
כדי לקבל את כלל פתרונות משוואת הסינוס
X = 30 + 360K או X = 150 + 360K
K תמיד שייך למספרים השלמים.
פתרונות כלליים
- פתור את המשוואה סינוס X שווה 1/2: α = 30 מעלות. פתרון כללי: X = 30 + 360K X = 180 - 30 + 360K = 150 + 360K כאשר K שייך למספרים השלמים.
- פתור את המשוואה סינוס X שווה מינוס שורש מחצי: α = -45 מעלות. פתרון כללי: X = -45 + 360K X = 180 - (-45) + 360K = 225 + 360K כאשר K שייך למספרים השלמים.