בשיעור זה נלמד כיצד לחשב אינטגרלים של פונקציות מעריכיות ונמצא שטח כלוא בין עקומה לפונקציה קווית באמצעות אינטגרלים.
להבין כיצד להציב גבולות באינטגרלים עם פונקציות מעריכיות
לחשב אינטגרל של פונקציה מעריכית e בחזקה כפולה
לזהות ולחשב שטח בין פונקציה עליונה לתחתונה על תחום מוגבל
לזכור שיש להקפיד על הסדר נכון (עליונה פחות תחתונה, משמאל לימין) לקבלת שטח חיובי
הצגת הבעיה והגדרת השטח: נתונה פונקציה מעריכית ופרבולה ונרצה למצוא את השטח הכלוא בינהן בין תחום מוגבל.
חישוב האינטגרל הפונקציונלי: לחשב אינטגרל של פונקציה מעריכית תוך סימון נכון של הגבולות ושל פונקציות עליונה ותחתונה.

תרגול קצר

חישוב שטח בין פונקציה מעריכית וקו ישר

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה y = e^(2x) והקו הישר y = 1. חשב את השטח הכלוא בין שתי העקומות בטווח x מ-0 עד 0.5.

אינטגרלשטח כלואפונקציה מעריכית

רמז: השטח הוא האינטגרל מהגבול התחתון לעליון של הפונקציה העליונה פחות התחתונה.

פתרון מלא

תשובה סופית: השטח הוא (0.5) - (1/2)(e^1 - 1) = 0.5 - 0.5(e - 1) = 1 - 0.5 e ≈ 0.358

השטח = אינטגרל_0^0.5 (1 - e^(2x)) dx חשוב לבדוק איזה פונקציה עליונה ואיזו תחתונה. כאן בגלל e^(2x) עולה מעריכית, ניתן להשוות בשתי נקודות. חשב את האינטגרל מפורשות.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מציאת שטח כלוא בין y = e^(2x) ל־ y = 1

אינטגרל של פונקציה מעריכית עם גבולות

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא השטח הכלוא בין שתי העקומות בתחום הנתון
נתון 1
נתון 1
y = e^(2x)
נתון 2
נתון 2
y = 1
נתון 3
x בין 0 ל-0.5
רעיון
הרעיון המרכזי
לחשב את האינטגרל של הפונקציה העליונה פחות התחתונה בטווח הנתון.
נוסחה
הגדירו את האינטגרל כהפרש בין הפונקציות
int 0 to 0.5 of (1 - e^(2x)) dxint_0^0.5 (1 - e^(2x)) dx_0^(0.5) (1 - e^(2x)) dx
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
חשב אינטגרל של 1 ו־ e^{2x} בנפרד
חשב אינטגרל של 1 ו־ e^{2x} בנפרד
x - 1/2 e^(2x)x - (1)/(2) e^(2x)

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתוני הבעיה

מה עושים

רשום את הפונקציות והתחום הנתון

למה

מבנה הבעיה מגדיר מה מחפשים ואיפה

הפונקציות הן y = e^{2x} ו־ y = 1, בתחום x מ-0 עד 0.5

בחירת שיטה

קביעת הפונקציה העליונה ותחתונה

מה עושים

השווה ערכים של הפונקציות בתחום

למה

לזהות מי ממלאת תפקיד פונקציה עליונה ומי תחתונה

לכל x בתחום 0 עד 0.5, y=1 היא העליונה כי e^{2x} עולה מ-1 עד בערך 2.7, אך בטווח קטן זו פחות כן, ולכן יש לבדוק.

ערך e^{2*0} =1, ב-0.5 זה e^{1} ≈ 2.718

בניית משוואה

כתיבת האינטגרל של שטח כלוא

מה עושים

הגדירו את האינטגרל כהפרש בין הפונקציות

למה

שטח בין פונקציות שווה לאינטגרל מההפרש בין עליונה לתחתונה

שטח = אינטגרל מ-0 עד 0.5 של (1 - e^{2x}) dx

נוסחה / הצבה

int 0 to 0.5 of (1 - e^(2x)) dxint_0^0.5 (1 - e^(2x)) dx_0^(0.5) (1 - e^(2x)) dx

פתרון

חשב את האינטגרל

מה עושים

חשב אינטגרל של 1 ו־ e^{2x} בנפרד

למה

אינטגרל של 1 הוא x, ואינטגרל e^{2x} הוא 1/2 e^{2x}

∫1 dx = x ∫e^{2x} dx = 1/2 e^{2x} + C

נוסחה / הצבה

x - 1/2 e^(2x)x - (1)/(2) e^(2x)

פתרון

חשב ערכים מוחלטים והצע תוצאה

מה עושים

חשב את הביטוי בגבולות 0 ו-0.5 והפעל ההפרש

למה

חישוב להערכת השטח המוגדר בין התחום

בטווח 0.5: 0.5 - 1/2 e^1 בטווח 0: 0 - 1/2 e^0 = -1/2 הפרש: (0.5 - 1/2 e) - (-1/2) = 1 - 1/2 e ≈ 0.358

בדוק שהשטח חיובי לפי סדר הפונקציות

פתרונות כלליים

חישוב שטח בין פונקציה מעריכית וקו ישר: השטח = אינטגרל_0^0.5 (1 - e^(2x)) dx חשוב לבדוק איזה פונקציה עליונה ואיזו תחתונה. כאן בגלל e^(2x) עולה מעריכית, ניתן להשוות בשתי נקודות. חשב את האינטגרל מפורשות.

הפריט הקודם הפריט הבא

א3. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא השטח הכלוא בין שתי העקומות בתחום הנתון

נתון 1

נתון 2

x בין 0 ל-0.5

הרעיון המרכזי

הגדירו את האינטגרל כהפרש בין הפונקציות

נבנה משוואה

חשב אינטגרל של 1 ו־ e^{2x} בנפרד

פתרון מפורט

נתוני הבעיה

קביעת הפונקציה העליונה ותחתונה

כתיבת האינטגרל של שטח כלוא

חשב את האינטגרל

חשב ערכים מוחלטים והצע תוצאה

פתרונות כלליים