בחלק זה נלמד כיצד למצוא נקודות קיצון וקווי צמוד לפונקציה, לחקור התנהגות באינסוף ולחשב אינטגרלים בשימוש בנגזרת נתונה. נעבוד על דוגמה של הפונקציה x כפול e בחזקה שלילית, נבחן את התהליכים לאבחון נקודות קיצון ונלמד לפתור אינטגרלים מוגבלים עם תנאי התחלה.
לזהות ולחשב נקודות קיצון של פונקציה המכילה מעריך נגטיבי
לחקור התנהגות של פונקציה באינסוף ובמינוס אינסוף
לחשב אינטגרלים של פונקציות מעריכיות באמצעות הדרגה והנגזרת
להפנים את הקשר בין נגזרת לפונקציה באמצעות אינטגרלים
להבין כיצד להשתמש בתנאי התחלה למציאת קבוע האינטגרציה
חקר פונקציה - נקודות קיצון ותחום: נבדוק תחום הגדרה, התנהגות בפאינטים קיצוניים, נקודות חיתוך עם הצירים, ונמצא נקודות קיצון על ידי גזירת הפונקציה וניצול המשוואה הנגזרת שווה אפס.
חישוב נגזרת והבנת נקודות קיצון: נגזור את הפונקציה, נציב את הנגזרת שווה לאפס, נוציא גורם משותף ונפתור את המשוואה כדי למצוא את נקודת הקיצון היחידה.
אינטגרלים לאחר חקר הפונקציה: בהמשך נעבור לחלק אינטגרלים עם פונקציה חדשה שהנגזרת שלה ידועה. נשתמש באינטגרציה כדי להשיב את הפונקציה עצמה תוך שימוש בתנאי התחלה כדי למצוא קבוע אינטגרציה.

תרגול קצר

מציאת נקודת קיצון לפונקציה x * e^{-x}

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה y = x כפול e בחזקה מינוס x. מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה.

נקודות קיצוןפונקציות מעריכיות

רמז: גזור את הפונקציה, הוצא גורם משותף, ופתור את המשוואה y' = 0.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת הקיצון היא ב-x = 1.

הנגזרת היא y' = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x}(1 - x). מאחר ש-e^{-x} לא אפס, הפתרון הוא 1 - x = 0 כלומר x = 1. זו נקודת קיצון.

חישוב ערך פונקציה דרך אינטגרל ונתון תנאי התחלה

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה נגזרת g'(x) = 1 - 1/e^{x}. ידוע שהגרף של g(x) עובר בנקודה (2,1). מצא את הפונקציה g(x).

אינטגרליםפונקציות מעריכיותתנאי התחלה

רמז: בצע אינטגרל של g'(x), הוסף קבוע אינטגרציה C, והציב את הנקודה (2,1) לקבלת C.

פתרון מלא

תשובה סופית: g(x) = x + e^{-x} - 1 - e^{-2}.

g(x) = אינטגרל (1 - e^{-x}) dx = x + e^{-x} + C. נציב g(2)=1: 1 = 2 + e^{-2} + C C = 1 - 2 - e^{-2} = -1 - e^{-2}. התשובה g(x) = x + e^{-x} -1 - e^{-2}.

זיהוי נקודת קיצון ואינטגרל פונקציה מעריכית

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה הפונקציה y = x * e^{-x}. סעיף א: מצא את נקודת הקיצון. סעיף ד: נתונה נגזרת g'(x) = 1 - e^{-x}, גרף הפונקציה g עובר בנקודה (2,1). מצא את הפונקציה g(x).

בגרותפונקציות מעריכיותאינטגרליםנגזרות

רמז: א. חשב נגזרת של y והוצא גורם משותף. ב. אינטגרל של g'(x) והצבת תנאי כדי למצוא את קבוע האינטגרציה.

פתרון מלא

תשובה סופית: א. נקודת הקיצון ב-x=1 ד. g(x) = x + e^{-x} -1 - e^{-2}

א. y' = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x}(1 - x) = 0 x=1 ד. g(x) = אינטגרל (1 - e^{-x}) dx = x + e^{-x} + C נציב g(2)=1: 1=2 + e^{-2} + C → C=1 - 2 - e^{-2} = -1 - e^{-2} אז g(x) = x + e^{-x} -1 - e^{-2}.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל אינטגרל ופונקציה מעריכית

חישוב g(x) מהנגזרת נתונה ותנאי התחלה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא g(x)
נתון 1
נתון 1
g'(x) = 1 - e^(-x)
נתון 2
נתון 2
g(2) = 1
רעיון
הרעיון המרכזי
נמצא את הפונקציה g(x) על ידי אינטגרציה של g'(x) ולאחר מכן נמצא את קבוע האינטגרציה באמצעות תנאי
נוסחה
חשב אינטגרלים של כל איבר בנפרד
ג(x) = x + e^(-x) + C
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
נציב את x=2, g(2) = 1 כדי למצוא C
נציב את x=2, g(2) = 1 כדי למצוא C
1 = 2 + e^(-2) + C
תוצאה
מסיימים בתשובה
רשום את g(x) עם הקבוע שמצאת
ג(x) = x + e^(-x) - 1 - e^(-2)

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

מה עושים

רשום את g(x) עם הקבוע שמצאת

למה

לסכם את פתרון התרגיל עם הנוסחה המלאה

g(x) = x + e^{-x} - 1 - e^{-2}

נוסחה / הצבה

ג(x) = x + e^(-x) - 1 - e^(-2)

ניתן להשאיר את e בביטוי או להמיר למספר.

פתרונות כלליים

מציאת נקודת קיצון לפונקציה x * e^{-x}: הנגזרת היא y' = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x}(1 - x). מאחר ש-e^{-x} לא אפס, הפתרון הוא 1 - x = 0 כלומר x = 1. זו נקודת קיצון.
חישוב ערך פונקציה דרך אינטגרל ונתון תנאי התחלה: g(x) = אינטגרל (1 - e^{-x}) dx = x + e^{-x} + C. נציב g(2)=1: 1 = 2 + e^{-2} + C C = 1 - 2 - e^{-2} = -1 - e^{-2}. התשובה g(x) = x + e^{-x} -1 - e^{-2}.
זיהוי נקודת קיצון ואינטגרל פונקציה מעריכית: א. y' = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x}(1 - x) = 0 x=1 ד. g(x) = אינטגרל (1 - e^{-x}) dx = x + e^{-x} + C נציב g(2)=1: 1=2 + e^{-2} + C → C=1 - 2 - e^{-2} = -1 - e^{-2} אז g(x) = x + e^{-x} -1 - e^{-2}.

הפריט הקודם הפריט הבא

א6. אינטגרל מעריכי ואינטגרל מעבר לפונקצית לן

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

הנדסת המרחב

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא g(x)

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

חשב אינטגרלים של כל איבר בנפרד

נבנה משוואה

נציב את x=2, g(2) = 1 כדי למצוא C

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

נתונים ראשוניים

אינטגרציה

חישוב הפונקציה ללא קבוע

הצבת תנאי התחלה

חשוב ערך קבוע אינטגרציה

ניסוח התוצאה הסופית

פתרונות כלליים