בשיעור זה הוצגה פונקציה הכוללת מכפלה בין x בריבוע לשורש של ביטוי מקוון, נלמד תחום ההגדרה, מציאת משוואת המשיק בנקודה נתונה, חישוב שיפועים ונקודות שבהן השיפוע אפס. השיעור מדגים טכניקות גזירה מתקדמות כגון גזירת מכפלה, גזירת שורש, וחשיבות תחום ההגדרה בהבנת הפונקציה.
הבנת תחום ההגדרה של פונקציות המכילות שורש ריבועי וביטויים פונקציונליים
חישוב הנגזרת של פונקציה המוגדרת כמכפלה של פונקציות, כולל חישוב נגזרת של שורש ריבועי
מציאת משוואת המשיק לפונקציה בנקודה נתונה
זיהוי נקודות שבהן שיפוע המשיק הוא אפס
הסקת מסקנות משמעותיות מתוך הנגזרת בנוגע למקום קיומן של מקסימום ומינימום מקומיים
הגדרת הפונקציה ותחום ההגדרה: הפונקציה נתונה כחזקה של x בריבוע מוכפלת בשורש של הביטוי 5-2x. תחום ההגדרה נובע מתנאי השורש הגדל מאפס ומיוצג כ-x עד 2.5.
חישוב ערך הפונקציה בנקודה x=2: הצבת x=2 בפונקציה לתחשוב את ערך y למטרת מציאת נקודת מגע המשיק.
חישוב הנגזרת ומשוואת המשיק בנקודה: שימוש בכלל המכפלה לגזירת הפונקציה, גזירת השורש, חישוב הנגזרת בנקודה x=2, ולבסוף כתיבת משוואת המשיק בנקודה זו.
מציאת נקודות שיפוע אפס: פתרון המשוואה נגזרת הפונקציה שווה ל-0 למציאת נקודות בהן המשיק אופקי, והסבר משמעותי על נקודות אלו כמקסימום או מינימום מקומי.

תרגול קצר

מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה y = x^2 * שורש (5 - 2x). מצא את תחום ההגדרה שלה.

תחום הגדרהשורשפונקציה

רמז: הביטוי בתוך השורש חייב להיות גדול או שווה ל-0.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה הוא x ≤ 2.5.

על מנת שהשורש יוגדר, 5 - 2x >= 0. לכן, 2x <= 5, כלומר x <= 2.5. הפונקציה מוגדרת עבור כל x קטן או שווה ל-2.5.

מציאת משוואת המשיק בנקודה x=2

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה הפונקציה y = x^2 * שורש (5 - 2x). מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה x=2.

נגזרתמשוואת משיקגזירת מכפלהשורש

רמז: מצא את y בנקודה זו, גזור את הפונקציה, חשב את השיפוע בנקודה והשתמש במשוואת המשיק.

פתרון מלא

תשובה סופית: משוואת המשיק היא y = 4.

1. מציאת y(2): 2^2 =4, 5 - 2*2 = 1, שורש(1)=1, לכן y=4*1=4. 2. נגזרת הפונקציה היא לפי כלל המכפלה: f=x^2, g=שורש(5-2x) f' = 2x g' = (1/(2*שורש(5-2x)))*(-2) = -1 / שורש(5-2x) לכן y' = 2x * שורש(5-2x) + x^2 * (-1 / שורש(5-2x)) 3. הצבת x=2: 2*2*1 + 4 * (-1/1) = 4 -4 = 0 4. משוואת המשיק: y - 4 = 0*(x - 2) => y = 4.

מציאת נקודות בהן השיפוע הוא 0

רמת קושי: מאתגר

ממתין

כעת, מצא את כל נקודות ה- x שבהן שיפוע המשיק לגרף הפונקציה y = x^2 * שורש(5 - 2x) שווה ל-0.

נגזרתשיפוע אפסנקודות קריטיות

רמז: פתור את משוואת הנגזרת שווה ל-0. זכרו להרחיב ולפשט את הביטוי על מנת למצוא את הפתרונות.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות השיפוע אפס הן x=0 ו-x=2.

הנגזרת היא: y' = 2x * שורש(5 - 2x) + x^2 * (-1 / שורש(5 - 2x)) נשווה ל-0 ונכפיל ב- שורש(5-2x) כדי לפשט: 0 = 2x * (5-2x) - x^2 0 = 10x -4x^2 - x^2 0 = 10x - 5x^2 נוציא גורם משותף x: x(10 - 5x) = 0 פיתרונות: x = 0 ו- 10 - 5x = 0 => x = 2 יש לבדוק את תחום ההגדרה: שני הפתרונות נכונים (0 ≤ 2.5).

זיהוי נקודות קיצון על פונקציה מסובכת

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה הפונקציה y = x^2 * שורש(5 - 2x). א. חשב את תחום ההגדרה. ב. כתוב את משוואת המשיק לנקודה x=2. ג. מצא את כל הנקודות שבהן השיפוע הוא 0 וציין משמעותן בקצרה.

בחינת בגרותפונקציותנגזרותמשוואת משיק

רמז: א. תנאי השורש. ב. הצב בנגזרת את x=2. ג. פתרון y'=0, בדיקת תחום ההגדרה.

פתרון מלא

תשובה סופית: א. x ≤ 2.5 ב. y=4 ג. x=0 ו-x=2 הן נקודות שיפוע 0, מתאימות לנקודות קיצון אפשריות.

א. 5 - 2x ≥ 0 → x ≤ 2.5 ב. y(2)=4, נגזרת בנקודה x=2 היא 0 → משוואת המשיק y=4 ג. פתרון y'=0 נותן x=0 ו-x=2, השיפוע ב-0 ו-2 הוא 0. אלו נקודות קריטיות לניתוח מקסימום/מינימום.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל: משוואת משיק ונקודות שיפוע אפס

אמצעים למציאת משוואת המשיק ונקודות שיפוע אפס בפונקציה נתונה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא משוואת המשיק בנקודה x=2 / נקודות x שבהן שיפוע המשיק הוא 0
נתון 1
נתון 1
y = x^2 * שורש(5 - 2x)
נתון 2
נתון 2
נקודה נתונה x = 2
רעיון
הרעיון המרכזי
תחילה נמצא את ערך y בנקודה הנתונה, נחשב את הנגזרת של הפונקציה, נמצא את השיפוע בנקודה, ונכתוב את
נוסחה
פתור y' = 0 עבור x למען נקודות עם משיקים אופקיים.
x times (10 minus 5x) equals 0x(10 - 5x) = 0
משוואה
השתמש בכלל המכפלה ושרשרת לגזירת הפונקציה.
השתמש בכלל המכפלה ושרשרת לגזירת הפונקציה.
y prime= 2x * sqrt(5- 2x)+ x squared * (-1 / sqrt(5- 2x))
פישוט
הצב x=2 בנגזרת כדי לחשב את השיפוע.
הצב x=2 בנגזרת כדי לחשב את השיפוע.
תוצאה
מסיימים בתשובה
השתמש בנקודת המשיק ובשיפוע שנמצא לכתיבת המשוואה.
y minus 4 equals 0 times (x minus 2)y - 4 = 0*(x - 2)

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת הנתונים והפונקציה

מה עושים

הכן את ביטוי הפונקציה והנתונים הרלוונטיים.

למה

לפני פתרון יש לייצג את הפונקציה ולזהות את הנקודה.

y מוגדר כ x בריבוע כפול שורש (5-2x), נקודת x=2 נקבעת כמקום החשוב בפתרון.

חשוב להבין את מבנה הפונקציה ומה נדרש.

בחירת שיטה

חישוב ערך y בנקודה

מה עושים

הצבת x=2 בפונקציה לחישוב y.

למה

להכיר את נקודת המגע למשוואת המשיק.

חישוב x^2=4, שורש(5-4)=1, ולכן y=4*1=4.

השתמש במחשבון אם יש צורך.

בניית משוואה

גזירת הפונקציה

מה עושים

השתמש בכלל המכפלה ושרשרת לגזירת הפונקציה.

למה

יש צורך בנגזרת למציאת השיפוע ומשוואת המשיק.

y' = 2x * שורש(5 - 2x) + x^2 * (-1 / שורש(5 - 2x))

נוסחה / הצבה

y prime= 2x * sqrt(5- 2x)+ x squared * (-1 / sqrt(5- 2x))

פרק את הגזירה לשני חלקים לפי כלל המכפלה.

פתרון

חישוב השיפוע בנקודה

מה עושים

הצב x=2 בנגזרת כדי לחשב את השיפוע.

למה

השיפוע בנקודה הוא ערך הנגזרת שם.

y'(2) = 4 - 4 = 0; השיפוע הוא 0 בנקודה.

החלף בחישוב את הערך בעזרת מחשבון.

פתרון

כתיבת משוואת המשיק

מה עושים

השתמש בנקודת המשיק ובשיפוע שנמצא לכתיבת המשוואה.

למה

זהו הביטוי המתאר את המשיק בגרף באותה נקודה.

y - 4 = 0*(x - 2) משמע y = 4.

נוסחה / הצבה

y minus 4 equals 0 times (x minus 2)y - 4 = 0*(x - 2)y - 4 = 0 * (x - 2)

המשוואה פשוטה בידיעה שהשיפוע אפס.

פתרון

מציאת נקודות שיפוע אפס

מה עושים

פתור y' = 0 עבור x למען נקודות עם משיקים אופקיים.

למה

נקודות אלו הן מועמדות למקסימום או מינימום.

x(10 - 5x) = 0 x=0 או x=2, בתוך תחום ההגדרה.

נוסחה / הצבה

x times (10 minus 5x) equals 0x(10 - 5x) = 0

באופן כללי יש לוודא פתרונות בתחום ההגדרה.

פתרונות כלליים

מציאת תחום ההגדרה של הפונקציה: על מנת שהשורש יוגדר, 5 - 2x >= 0. לכן, 2x <= 5, כלומר x <= 2.5. הפונקציה מוגדרת עבור כל x קטן או שווה ל-2.5.
מציאת משוואת המשיק בנקודה x=2: 1. מציאת y(2): 2^2 =4, 5 - 2*2 = 1, שורש(1)=1, לכן y=4*1=4. 2. נגזרת הפונקציה היא לפי כלל המכפלה: f=x^2, g=שורש(5-2x) f' = 2x g' = (1/(2*שורש(5-2x)))*(-2) = -1 / שורש(5-2x) לכן y' = 2x * שורש(5-2x) + x^2 * (-1 / שורש(5-2x)) 3. הצבת x=2: 2*2*1 + 4 * (-1/1) = 4 -4 = 0 4. משוואת המשיק: y - 4 = 0*(x - 2) => y = 4.
מציאת נקודות בהן השיפוע הוא 0: הנגזרת היא: y' = 2x * שורש(5 - 2x) + x^2 * (-1 / שורש(5 - 2x)) נשווה ל-0 ונכפיל ב- שורש(5-2x) כדי לפשט: 0 = 2x * (5-2x) - x^2 0 = 10x -4x^2 - x^2 0 = 10x - 5x^2 נוציא גורם משותף x: x(10 - 5x) = 0 פיתרונות: x = 0 ו- 10 - 5x = 0 => x = 2 יש לבדוק את תחום ההגדרה: שני הפתרונות נכונים (0 ≤ 2.5).
זיהוי נקודות קיצון על פונקציה מסובכת: א. 5 - 2x ≥ 0 → x ≤ 2.5 ב. y(2)=4, נגזרת בנקודה x=2 היא 0 → משוואת המשיק y=4 ג. פתרון y'=0 נותן x=0 ו-x=2, השיפוע ב-0 ו-2 הוא 0. אלו נקודות קריטיות לניתוח מקסימום/מינימום.

הפריט הקודם הפריט הבא

א6. ניגזרות רמה בסיסית - משוואת משיק טכניקה של גזירה ומקורות השיפוע

ניווט לפי נושאים

נגזרות רמה בסיסית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא משוואת המשיק בנקודה x=2 / נקודות x שבהן שיפוע המשיק הוא 0

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

פתור y' = 0 עבור x למען נקודות עם משיקים אופקיים.

השתמש בכלל המכפלה ושרשרת לגזירת הפונקציה.

הצב x=2 בנגזרת כדי לחשב את השיפוע.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הגדרת הנתונים והפונקציה

חישוב ערך y בנקודה

גזירת הפונקציה

חישוב השיפוע בנקודה

כתיבת משוואת המשיק

מציאת נקודות שיפוע אפס

פתרונות כלליים