בשיעור זה נלמדים מושגי יסוד של נגזרות, נוסחאות גזירה בסיסיות, ושימושיהן למציאת שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה נתונה. מוצגות דוגמאות חישוב נגזרות ושליפת השיפוע בגישה מובנית ובהתבסס על טבלת הנוסחאות.
להבין מהי נגזרת כפעולה למציאת שיפוע משיק
לזכור וליישם את נוסחאות הגזירה הבסיסיות לפונקציות פולינומיות
לחשב נגזרת של פונקציה ספציפית
למצוא את שיפוע המשיק בנקודה נתונה באמצעות הנגזרת
להשתמש במחשבון נגזור להבטיח נכונות חישובית
הגדרת נגזרת כפעולה למציאת שיפוע: הסבר מהי נגזרת ככלי למציאת שיפוע משיק בנקודה מסוימת על גרף פונקציה.
נוסחאות גזירה בסיסיות: מציגות את שלוש הנוסחאות הבסיסיות לגזירה שמחייבים להשתמש בהן כפי שהן ללא שינויים.
דוגמה מעשית: חישוב נגזרת ופישוט: מסביר כיצד לגזור ביטוי פולינומי מורכב על ידי גזירת כל איבר בנפרד ופישוט התוצאה.
מציאת שיפוע המשיק בנקודה נתונה: הצגת הדרך למציאת שיפוע משיק באמצעות הצבת ערך X בנגזרת, כולל שימוש במחשבון נגזרות.

תרגול קצר

גזור את הפונקציה f(x) = 3 + 2x - 5x³

רמת קושי: קל

ממתין

גזור את הפונקציה הנתונה f של x = 3 + 2x - 5x בחזקת 3.

נגזרותפולינומיםכלל החזקה

רמז: גזור כל איבר בנפרד לפי הכללים שנלמדו: נגזרת של מספר קבוע היא 0, נגזרת של ax היא a, ונגזרת של ax בחזקת n היא a כפול n כפול x בחזקת n פחות 1.

פתרון מלא

תשובה סופית: f'(x) = 2 - 15x²

הנגזרת של 3 היא 0. הנגזרת של 2x היא 2. הנגזרת של -5x³ היא -5 * 3 * x² = -15x². לכן הנגזרת הכוללת היא 0 + 2 - 15x².

מצא את שיפוע המשיק בפונקציה 3 + 2x - 5x³ בנקודה x=1

רמת קושי: בינוני

ממתין

באמצעות הנגזרת שמצאת, חשב את שיפוע המשיק לפונקציה f(x)=3 + 2x - 5x³ בנקודה x=1.

שיפוע משיקחישוב נקודתינגזרות

רמז: הציב את הערך x=1 בנגזרת שמצאת והחשב את השיפוע כמספר.

פתרון מלא

תשובה סופית: שיפוע המשיק בנקודה x=1 הוא -13

הנגזרת היא f'(x) = 2 - 15x². נציב x=1: f'(1) = 2 - 15*(1)² = 2 - 15 = -13.

מצא את שיפוע המשיק לפונקציה x² - 6x בנקודה x=-2

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונה הפונקציה f(x)=x² - 6x + 3. חשב את שיפוע המשיק בנקודה x=-2.

נגזרותשיפוע משיקחישוב נקודתי

רמז: הזן תחילה את הנגזרת הכללית, ולאחר מכן החלף את x בערך -2.

פתרון מלא

תשובה סופית: שיפוע המשיק בנקודה x=-2 הוא -10

נגזור: f'(x) = 2x - 6. נציב x = -2: f'(-2) = 2*(-2) - 6 = -4 - 6 = -10.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מפת פתרון למציאת שיפוע משיק בנקודה

הדגמה על הפונקציה f(x) = 3 + 2x - 5x³ בנקודה x=1

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא שיפוע המשיק בנקודה X=1
נתון 1
נתון 1
f(x) = 3 + 2x - 5x בחזקה 3
נתון 2
נתון 2
נקודת X = 1
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את הנגזרת ואז נציב את ערך X בנגזרת לקבלת השיפוע.
נוסחה
נכתוב את הנגזרת לפי נוסחאות הגזירה.
d/dx (3) = 0d/dx (2x) = 2d/dx (-5x^3) = -5 * 3 * x^(3-1) = -15x^2
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
פשטנו את הנגזרת ל: 2 - 15x².
פשטנו את הנגזרת ל: 2 - 15x².
f'(x) = 2 - 15x^2
תוצאה
מסיימים בתשובה
שיפוע המשיק הוא -13 בנקודה X=1.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הפונקציה והנקודה

מה עושים

יש פונקציה פולינומית ונתון נקודת X=1.

למה

הפונקציה מוגדרת ונקודת העניין מוגדרת.

f(x) = 3 + 2x - 5x³, X=1

בחירת שיטה

שימוש בנגזרת למציאת שיפוע

מה עושים

נגזרת הפונקציה נותנת את השיפוע בנקודה כלשהי.

למה

השיפוע הוא ערך הנגזרת בנקודה הרצויה.

בניית משוואה

כתיבת הנגזרת

מה עושים

נכתוב את הנגזרת לפי נוסחאות הגזירה.

למה

כדי לקבל ביטוי נגזרת נכון לצורך חישוב השיפוע.

d/dx (3 + 2x - 5x³) = 0 + 2 - 15x²

נוסחה / הצבה

d/dx (3) = 0d/dx (2x) = 2d/dx (-5x^3) = -5 * 3 * x^(3-1) = -15x^2

זכור נגזרת של x בחזקה n היא n*x בחזקת n-1 מוכפל במקדם.

פתרון

חישוב הנגזרת בפשטות

מה עושים

פשטנו את הנגזרת ל: 2 - 15x².

למה

פשטת הביטוי לסוגיו להקל על הצבה בנקודה.

נוסחה / הצבה

f'(x) = 2 - 15x^2

פתרון

הצבת X=1 בחישוב השיפוע

מה עושים

נחשב את שיפוע המשיק על ידי הצבת 1 בנגזרת.

למה

התוצאה היא השיפוע המספרי בנקודה.

נוסחה / הצבה

f'(1) = 2 - 15 * 1^2 = 2 - 15 = -13f'(1) = 2 - 15 x 1^2 = 2 - 15 = -13

תשובה

שיפוע המשיק

מה עושים

שיפוע המשיק הוא -13 בנקודה X=1.

למה

עבור X=1, השיפוע הוא הערך המחושב של הנגזרת.

פתרונות כלליים

גזור את הפונקציה f(x) = 3 + 2x - 5x³: הנגזרת של 3 היא 0. הנגזרת של 2x היא 2. הנגזרת של -5x³ היא -5 * 3 * x² = -15x². לכן הנגזרת הכוללת היא 0 + 2 - 15x².
מצא את שיפוע המשיק בפונקציה 3 + 2x - 5x³ בנקודה x=1: הנגזרת היא f'(x) = 2 - 15x². נציב x=1: f'(1) = 2 - 15*(1)² = 2 - 15 = -13.
מצא את שיפוע המשיק לפונקציה x² - 6x בנקודה x=-2: נגזור: f'(x) = 2x - 6. נציב x = -2: f'(-2) = 2*(-2) - 6 = -4 - 6 = -10.

הפריט הקודם הפריט הבא

א2. ניגזרות רמה בסיסית - משוואת משיק טכניקה של גזירה ומקורות השיפוע

ניווט לפי נושאים

נגזרות רמה בסיסית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

האלגברה של הטריגונומטריה

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

הנדסה אנליטית

בעיות מילוליות

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא שיפוע המשיק בנקודה X=1

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

נכתוב את הנגזרת לפי נוסחאות הגזירה.

נבנה משוואה

פשטנו את הנגזרת ל: 2 - 15x².

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הפונקציה והנקודה

שימוש בנגזרת למציאת שיפוע

כתיבת הנגזרת

חישוב הנגזרת בפשטות

הצבת X=1 בחישוב השיפוע

שיפוע המשיק

פתרונות כלליים