שיעור המקיף פתרון מלא לתרגיל מתמטיקה הנוגע לפונקציות, חיתוכים, משיקים, נקודות קיצון, בתחום של אנליטית, נגזרות, ואינטגרלים.
להבין כיצד למצוא נקודות חיתוך בין פונקציות
לחושב משוואת משיק לנקודה על גרף פונקציה
לחקור נקודות קיצון של פונקציה באמצעות נגזרת ראשונה
להכיר טיפול בתחומים מוגבלים ופונקציות עם מכנה
להשתמש בנוסחאות לכתיבת משוואת ישר ומשיק
הבנת תרגיל וחיתוך פונקציות: הגדרת התחום שבו X גדול מאפס, שני גופים נתונים, מציאת נקודות חיתוך בין הפונקציות.
מציאת משוואות המשיק בנקודות החיתוך: למצוא משיק לגרף בנקודות החיתוך, באמצעות רכיב הנגזרת ונוסחת המשיק.
חקר נקודות הקיצון: חישוב נקודות הקיצון ע"י השוואת הנגזרת לאפס וניתוח הסימנים.

תרגול קצר

מוצא נקודות החיתוך בין פונקציות

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה y = x + 5 / x בתחום X > 0, ומישר y = 6. מצא את נקודות החיתוך בין הפונקציה למישור.

חיתוך פונקציותמשוואה ריבועיתתחום הגדרה

רמז: השווה את שני הביטויים y זהים במיקום החיתוך, תמקם את המשוואה, ואז פתור משוואה ריבועית.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות החיתוך הן (5,6) ו-(1,6).

השווה 6 = x + 5/x. הכפל ב-x (תחום חיובי) x * 6 = x^2 + 5, כלומר 6x = x^2 + 5. העבר אגפים: 0 = x^2 - 6x + 5. פתרון המשוואה הריבועית נותן x = 5 או x = 1. תחום ההגדרה מתקיים. מצא y על ידי הצבה: y=6.

מציאת משוואת משיק בנקודות חיתוך

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה הפונקציה y = x + 5/x וכן נקודה B=(5,6). מצא את משוואת המשיק לפונקציה בנקודה B.

משיקנגזרתמשוואת ישר

רמז: חשב נגזרת הפונקציה, חשב שיפוע במשנקודה, והשתמש בנוסחת ישר משיק.

פתרון מלא

תשובה סופית: y = 0.8x + 2

הנגזרת היא y' = 1 - 5/x^2. ב-x=5, y' = 1 - 5/25 = 0.8. משוואת המשיק בנקודה B היא y - 6 = 0.8(x - 5), כלומר y = 0.8x + 2.

מצא נקודות קיצון של הפונקציה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

לגזור את הפונקציה y = x + 5/x, למצוא את נקודות הקיצון בתחום X>0.

נקודות קיצוןנגזרתפונקציה

רמז: חשב y' = 1 - 5/x^2, שווה לו 0, פתר משוואה ריבועית ומצא נקודות x.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת קיצון ב-x = sqrt(5), y ≈ 4.472

משווים y' = 0: 1 - 5/x^2 = 0 => x^2 = 5, x = sqrt(5) בתחום החיובי. מציבים ב-y לקבלת ערך y קיצון. בנוסף, בודקים את סימן הנגזרת לשני צידי נקודה זו.

מציאת נקודת המפגש בין שני משיקים

רמת קושי: בגרות

ממתין

נמצאו משוואות שני משיקים y=0.8x+2 ו-y=-4x+10. מצא את נקודת החיתוך שלהם.

משיקיםחיתוך ישריםאנליטית

רמז: השווה בין המשוואות y זהה, פתר משוואה ליניארית לאקס.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת החיתוך היא (1.666, 3.33)

0.8x + 2 = -4x + 10, 0.8x + 4x = 10 - 2, 4.8x = 8, x=8/4.8=1.666. y=0.8*1.666+2=3.33.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל - מציאת נקודת חיתוך

שיטות פתרון חיתוך פונקציות עם תחום חיובי

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נקודות החיתוך בין הפונקציות
נתון 1
נתון 1
פונקציה y = x + 5/x
נתון 2
נתון 2
קוו ישר y = 6
נתון 3
נתון 3
תחום ההגדרה x > 0
רעיון
הרעיון המרכזי
השווה את שני ביטויי y, הפוך למשוואה ריבועית, פתר במגבלות התחום.
נוסחה
חשב שורשים x לפי הנוסחה הריבועית
x=1x=5
משוואה
כפל ב-x להכפלת המכנה והסרתו
כפל ב-x להכפלת המכנה והסרתו
6x = x^2 + 5
פישוט
העבר אגפים והשתמש בנוסחאות לפתרון משוואה ריבועית
העבר אגפים והשתמש בנוסחאות לפתרון משוואה ריבועית
x^2 - 6x + 5 = 0

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת הפונקציות והתחום

מה עושים

הנתונים כוללים את הפונקציה והקשר הישר עם תחום חיובי ל-x

למה

צריך לדעת מה הפונקציות ומה תחום ההגדרה לפתירת בעיה נכונה

y = x + 5/x, y = 6, x > 0

בחירת שיטה

השוואת הפונקציות

מה עושים

שים שווה בין שני הביטויים y כדי למצוא נקודת חיתוך

למה

בנקודת החיתוך y יהיה זהה לשתי הפונקציות

6 = x + 5/x

זכור שמתחילים מהשוואת הפונקציה והישר.

בניית משוואה

הפיכת משוואה למשוואה ריבועית

מה עושים

כפל ב-x להכפלת המכנה והסרתו

למה

כדי למנוע שברים ולהגיע למשוואה נוחה לפתרון

6x = x^2 + 5

נוסחה / הצבה

6x = x^2 + 5

כפל ב-x, התחום חיובי ולכן חוקי

פתרון

סידור ופתירת המשוואה הריבועית

מה עושים

העבר אגפים והשתמש בנוסחאות לפתרון משוואה ריבועית

למה

כדי למצוא את ערכי x המתאימים לנקודות חיתוך

0 = x^2 - 6x + 5

נוסחה / הצבה

x^2 - 6x + 5 = 0

ניתן לפתור עם נוסחת השורשים או פירוק

פתרון

חישוב שורשי המשוואה

מה עושים

חשב שורשים x לפי הנוסחה הריבועית

למה

הערכים הם מיקומי החיתוך האפשריים בתחום

x=1, x=5

נוסחה / הצבה

x=1x=5

וודא ששני הפתרונות בתחום X>0

בדיקה

מציאת ערכי y בנקודות חיתוך

מה עושים

הצבת הערכים במשוואה y=6 לקבלת נקודות חיתוך ממשיות

למה

שני הפונקציות שוות ל-6 בנקודות אלו ולכן הן נקודות חיתוך

y=6 בנקודות (1,6) ו-(5,6)

פתרונות כלליים

מוצא נקודות החיתוך בין פונקציות: השווה 6 = x + 5/x. הכפל ב-x (תחום חיובי) x * 6 = x^2 + 5, כלומר 6x = x^2 + 5. העבר אגפים: 0 = x^2 - 6x + 5. פתרון המשוואה הריבועית נותן x = 5 או x = 1. תחום ההגדרה מתקיים. מצא y על ידי הצבה: y=6.
מציאת משוואת משיק בנקודות חיתוך: הנגזרת היא y' = 1 - 5/x^2. ב-x=5, y' = 1 - 5/25 = 0.8. משוואת המשיק בנקודה B היא y - 6 = 0.8(x - 5), כלומר y = 0.8x + 2.
מצא נקודות קיצון של הפונקציה: משווים y' = 0: 1 - 5/x^2 = 0 => x^2 = 5, x = sqrt(5) בתחום החיובי. מציבים ב-y לקבלת ערך y קיצון. בנוסף, בודקים את סימן הנגזרת לשני צידי נקודה זו.
מציאת נקודת המפגש בין שני משיקים: 0.8x + 2 = -4x + 10, 0.8x + 4x = 10 - 2, 4.8x = 8, x=8/4.8=1.666. y=0.8*1.666+2=3.33.

הפריט הקודם הפריט הבא

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

ד5. שאלון 803 - חקירה מלאה - פתרון תרגיל - כל שלבי העבודה - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

פתרון תרגיל - מציאת נקודת חיתוך

מפת פתרון

למצוא נקודות החיתוך בין הפונקציות

נתון 1

נתון 2

נתון 3

הרעיון המרכזי

חשב שורשים x לפי הנוסחה הריבועית

כפל ב-x להכפלת המכנה והסרתו

העבר אגפים והשתמש בנוסחאות לפתרון משוואה ריבועית

פתרון מפורט

הגדרת הפונקציות והתחום

השוואת הפונקציות

הפיכת משוואה למשוואה ריבועית

סידור ופתירת המשוואה הריבועית

חישוב שורשי המשוואה

מציאת ערכי y בנקודות חיתוך

פתרונות כלליים