במהלך השיעור אנו לומדים כיצד לחקור פונקציה מסוג שבר רציונלי הכוללת חקירת תחום הגדרה, חיתוכים עם הצירים, חקירת נקודות קיצון באמצעות נגזרת, וזיהוי תחומי עלייה וירידה.
להגדיר את תחום ההגדרה של הפונקציה
למצוא חיתוך עם צירי x ו-y
לחקור נקודות קיצון על ידי נגזרת ראשונה
להבין מגבלות ותחומים של הפונקציה
לזהות אזורי עלייה וירידה בקישור לנקודות קיצון
תחום הגדרה: הפונקציה כוללת מכנה המצריך איסור על X=0. לכן תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים פרט ל-0.
חיתוך עם צירי X ו-Y: אין חיתוך עם ציר Y כיוון שאין אפשרות להציב X=0. החיתוך עם ציר X מחייב פתרון המשוואה Y=0, שהינה משוואה ריבועית עם פתרון דמיוני, ולכן אין חיתוך עם ציר X.
חקירת נקודות קיצון: תהליך הנגזרת והשוואתה לאפס מאפשר למצוא את נקודות המקסימום והמינימום של הפונקציה. בשיעור נמצאו X=4 עם Y=2 כנקודת מינימום ו-X=-4 עם Y=-2 כנקודת מקסימום.
תחומי עלייה וירידה: על ידי סימון ערכים בין נקודות הקיצון, ניתן לקבוע מתי הפונקציה עולה ומתי יורדת, ולזהות את האזורים שבהם הפונקציה עולה, יורדת, או שומרת על מגבלות תחום ההגדרה.

תרגול קצר

חישוב תחום ההגדרה לפונקציה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה Y = X חלקי 4 ועוד 4 חלקי X. מצא את תחום ההגדרה שלה.

תחום הגדרהשברים

רמז: חשוב לזכור ש-X לא יכול להיות אפס כי הוא מופיע במכנה.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה: כל המספרים הממשיים חוץ מ-X=0

מכיוון שה-X מופיע במכנה, X לא יכול להיות אפס כדי שהפונקציה תהיה מוגדרת. לכן תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים פרט ל-X=0.

מציאת חיתוך עם צירי הפונקציה

רמת קושי: בינוני

ממתין

עבור פונקציה Y = X/4 + 4/X, חשב את נקודות החיתוך עם ציר ה-X וציר ה-Y.

חיתוכיםשבריםפתרון משוואות

רמז: נסה להציב את X=0 ולראות אם אפשר לקבל Y, ובהמשך הצב Y=0 ופתור עבור X.

פתרון מלא

תשובה סופית: אין חיתוך עם אף אחד מהצירים.

חיתוך עם ציר Y: יש להציב X=0, אך לא ניתן כי יש X במכנה ולכן אין חיתוך עם ציר Y. חיתוך עם ציר X: השווה Y לאפס וקבל משוואה X/4 + 4/X = 0. הכפל במכנה המשותף 4X וקבל X^2 + 16 = 0, שאין לה פתרונות ממשיים. לכן אין חיתוך עם ציר X.

חקירת נקודות קיצון של הפונקציה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

לחקור את נקודות הקיצון של הפונקציה Y = X/4 + 4/X באמצעות נגזרת ראשונה.

נגזרתנקודות קיצוןחקירה פונקציונלית

רמז: חשב את הנגזרת, השווה לאפס ופתור את המשוואה שנגזרת מתקבלת.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות קיצון ב־(4,2) ו־(-4,-2)

הנגזרת היא dY/dX = 1/4 - 4/X^2 השווה לאפס: 1/4 = 4/X^2 => X^2 = 16 => X = ±4 חישוב Y ב-X=4: Y = 4/4 + 4/4 = 1 + 1 = 2 חישוב Y ב-X=-4: Y = (-4)/4 + 4/(-4) = -1 -1 = -2 נקודות הקיצון הן (4,2) נקודת מינימום ו(-4,-2) נקודת מקסימום.

ניתוח פונקציה שבריתית מלאה

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה הפונקציה Y = X/4 + 4/X. בצע חקירה מלאה: תחום הגדרה, חיתוכים עם הצירים, חקירת נקודות קיצון, ותחומי עלייה וירידה.

בחינת בגרותחקירה פונקציהשברים וחיתוכים

רמז: התחל מתחום הגדרה, לאחר מכן חשב חיתוכים על ידי הצבה, המשך נגזרת ראשונה ומציאת נקודות קיצון, סמן תחומי עליה וירידה בהתאם לחתכי הנגזרת.

פתרון מלא

תשובה סופית: חקירה מלאה לפי השלבים שהוצגו כולל תחומים, נקודות וגרף משוער.

תחום הגדרה: כל הס_REAL לא כולל 0 חיתוך עם ציר Y: לא קיים X=0 אסור במכנה חיתוך עם ציר X: פתרון X^2 + 16=0, אין פתרונות ממשיים נגזרת: 1/4 - 4/X^2 נקודות קיצון: X=4, X=-4 ערכים בנקודות קיצון: Y(4)=2, Y(-4)=-2 תחומי עלייה: מחוץ לתחום (-∞, -4) ו-(4, ∞) תחומי ירידה: בין -4 ל-0 ו-0 עד 4 הפונקציה מתנהגת בהתאם לתחום הגדרה ולנקודות הקיצון שנמצאו.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקירת פונקציה Y = X/4 + 4/X

מפה לימודית לפתרון תרגיל חקירת פונקציה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא תחום הגדרה / חיתוך עם צירים / נקודות קיצון / תחומי עלייה וירידה
נתון 1
נתון 1
Y = X/4 + 4/X
רעיון
הרעיון המרכזי
נחקור את הפונקציה בשלבים ברורים: נגדיר תחום, נבדוק חיתוכים, נגזור לאיתור קיצונים ונזהה אזורי
נוסחה
קבע אילו ערכים של X מותר להשתמש בהם
X berbeda dari 0X ≠ 0X != 0
משוואה
הציב X=0 וחפש Y
הציב X=0 וחפש Y
פישוט
השווה נגזרת לאפס ופתור עבור X
השווה נגזרת לאפס ופתור עבור X
berarti X kuadrat sama dengan enam belas
תוצאה
מסיימים בתשובה
הציב כל X במקור כדי למצוא Y
Y sama dengan X dibagi empat ditambah empat dibagi XY empat sama dengan dua
בדיקה
בדיקה קצרה
- זכור להגדיר תחום הגדרה נכון
- שימי לב שאין חיתוך עם ציר Y בגלל איסור על X=0
- זהירות: השמטת איסור על X=0 בתחום ההגדרה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת תחום

מה עושים

קבע אילו ערכים של X מותר להשתמש בהם

למה

למנוע חלוקה באפס

כיוון ש-X מופיע במכנה, X לא יכול להיות 0

נוסחה / הצבה

X berbeda dari 0X ≠ 0X != 0

תחום ההגדרה הוא כל המספרים פרט ל-0

בניית משוואה

חיתוך עם ציר Y

מה עושים

הציב X=0 וחפש Y

למה

חיתוך עם ציר Y קורה ב-X=0

אין אפשרות להציב 0 במכנה ולכן אין חיתוך

אם מפעילים X=0 במכנה, הפונקציה אינה מוגדרת

בניית משוואה

חיתוך עם ציר X

מה עושים

השווה Y ל-0 ופתור משוואה

למה

חיתוך עם ציר X הוא כאשר Y=0

פתרון המשוואה מוביל ל-X^2 + 16 = 0 שאין לה פתרונות ממשיים

נוסחה / הצבה

X dibagi 4 plus 4 dibagi X sama dengan 0kali 4X: X kuadrat plus 16 sama dengan 0X/4 + 4/X = 0=> X^2 + 16 = 0(X)/(4) + (4)/(X) = 0 => X^(2) + 16 = 0

אין שורשים ממשיים, אין חיתוך עם ציר X

בניית משוואה

מציאת נגזרת

מה עושים

חשב נגזרת ראשונה של הפונקציה

למה

למצוא נקודות קיצון

dY/dX = 1/4 - 4/X^2

נוסחה / הצבה

turunan Y terhadap X sama dengan seperempat minus empat dibagi X kuadratdY/dX = 1/4 - 4/X^2(dY)/(dX) = (1)/(4) - (4)/(X^(2))

נגזרת פונקציה שבריתית היא סכום נגזרות כל איבר

פתרון

קביעת נקודות קיצון

מה עושים

השווה נגזרת לאפס ופתור עבור X

למה

נקודות קיצון הן פתרונות dY/dX=0

1/4 - 4/X^2 = 0 X^2=16 X=±4

נוסחה / הצבה

seperempat minus empat dibagi X kuadrat sama dengan nolberarti X kuadrat sama dengan enam belasX sama dengan plus minus empat1/4 - 4/X^2 = 0=> X^2 = 16

פתור משוואה ריבועית פשוטה

פתרון

חשב ערכי Y בנקודות קיצון

מה עושים

הציב כל X במקור כדי למצוא Y

למה

למקם נקודות קיצון על הציר ה-Y

Y(4) = 4/4 + 4/4 = 2 Y(-4) = -4/4 + 4/-4 = -2

נוסחה / הצבה

Y sama dengan X dibagi empat ditambah empat dibagi XY empat sama dengan duaY negatif empat sama dengan negatif duaY = X/4 + 4/XY(4)=2

חשב ערך פונקציה פשוט במקום נקודות הקיצון

פתרונות כלליים

חישוב תחום ההגדרה לפונקציה: מכיוון שה-X מופיע במכנה, X לא יכול להיות אפס כדי שהפונקציה תהיה מוגדרת. לכן תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים פרט ל-X=0.
מציאת חיתוך עם צירי הפונקציה: חיתוך עם ציר Y: יש להציב X=0, אך לא ניתן כי יש X במכנה ולכן אין חיתוך עם ציר Y. חיתוך עם ציר X: השווה Y לאפס וקבל משוואה X/4 + 4/X = 0. הכפל במכנה המשותף 4X וקבל X^2 + 16 = 0, שאין לה פתרונות ממשיים. לכן אין חיתוך עם ציר X.
חקירת נקודות קיצון של הפונקציה: הנגזרת היא dY/dX = 1/4 - 4/X^2 השווה לאפס: 1/4 = 4/X^2 => X^2 = 16 => X = ±4 חישוב Y ב-X=4: Y = 4/4 + 4/4 = 1 + 1 = 2 חישוב Y ב-X=-4: Y = (-4)/4 + 4/(-4) = -1 -1 = -2 נקודות הקיצון הן (4,2) נקודת מינימום ו(-4,-2) נקודת מקסימום.
ניתוח פונקציה שבריתית מלאה: תחום הגדרה: כל הס_REAL לא כולל 0 חיתוך עם ציר Y: לא קיים X=0 אסור במכנה חיתוך עם ציר X: פתרון X^2 + 16=0, אין פתרונות ממשיים נגזרת: 1/4 - 4/X^2 נקודות קיצון: X=4, X=-4 ערכים בנקודות קיצון: Y(4)=2, Y(-4)=-2 תחומי עלייה: מחוץ לתחום (-∞, -4) ו-(4, ∞) תחומי ירידה: בין -4 ל-0 ו-0 עד 4 הפונקציה מתנהגת בהתאם לתחום הגדרה ולנקודות הקיצון שנמצאו.

הפריט הקודם הפריט הבא

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

ד4. שאלון 803 - חקירה מלאה - פתרון תרגיל - כל שלבי העבודה - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

חקירת פונקציה Y = X/4 + 4/X

מפת פתרון

למצוא תחום הגדרה / חיתוך עם צירים / נקודות קיצון / תחומי עלייה וירידה

נתון 1

הרעיון המרכזי

קבע אילו ערכים של X מותר להשתמש בהם

הציב X=0 וחפש Y

השווה נגזרת לאפס ופתור עבור X

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

הגדרת תחום

חיתוך עם ציר Y

חיתוך עם ציר X

מציאת נגזרת

קביעת נקודות קיצון

חשב ערכי Y בנקודות קיצון

פתרונות כלליים