MMATH
התחברות

וידאו · משוואה טריגונומטרית

ב5. משוואה טריגונומטרית

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%

סיכום שיעור

  • השיעור מתמקד בפתרון משוואות טריגונומטריות הכוללות ביטויים עם סינוס וקוסינוס, תוך שימוש בהוצאת גורם משותף, יצירת מכפלות, שיטת הצבה ושימוש במקרים מיוחדים מוכרים.
  • להבין כיצד להוציא גורם משותף ממשוואה טריגונומטרית
  • לזהות מתי וכיצד להשתמש בשיטת הצבה לפתרון משוואות טריגונומטריות
  • לפתור משוואות עם סינוס וקוסינוס באמצעות פירוק למכפלות
  • לזכור ולהשתמש במקרים מיוחדים לפתרון משוואות טריגונומטריות
  • הוצאת גורם משותף ויצירת מכפלות: לימוד כיצד להוציא גורמים משותפים ממשוואות טריגונומטריות על מנת לפרק את המשוואה למכפלות ולפתור כל גורם בנפרד.
  • שיטת הצבה: שימוש בשיטת הצבה להמרת משתנה טריגונומטרי למשתנה חדש כדי לעבד ולפתור משוואות מורכבות יותר.
  • מקרים מיוחדים ותחום ההגדרה: זיהוי פתרונות מיוחדים כמו סינוס או קוסינוס השווים ל-0 או 1, וחשיבות בדיקת תחומי ההגדרה למניעת טעויות בפתרון.

תרגול קצר

פתרון משוואת סינוס פשוטה עם גורם משותף

רמת קושי: קל

ממתין

פתור את המשוואה סינוס בריבוע X + סינוס X קוסינוס X = 0.

סינוסקוסינוסגורם משותףמשוואה טריגונומטרית

רמז: הוצא גורם משותף סינוס X, פרק למכפלות ואז פתר כל אחד מהם בנפרד.

פתרון מלא

תשובה סופית: X = πk או X = -π/4 + πk, כאשר k שלם.

נוציא גורם משותף: סינוס X (סינוס X + קוסינוס X) = 0.\nנפתור את שתי המשוואות:\n1. סינוס X = 0 \u2013 פתרונות הם X = πk\n2. סינוס X + קוסינוס X = 0 \u2013 נחלק בקוסינוס X (בבדיקה תחום) ונקבל טנגנס X = -1. הפתרונות הם X = -π/4 + πk.

פתרון משוואת סינוס בריבוע בפולינום

רמת קושי: בינוני

ממתין

פתור את המשוואה: שני סינוס בריבוע X - 3 סינוס X + 1 = 0.

סינוס בריבועמשוואה ריבועיתשיטת הצבה

רמז: הצב T = סינוס X, פתר משוואה ריבועית ב-T, ואז חזור ל-x.

פתרון מלא

תשובה סופית: X = π/2 + 2πk, X = π/6 + 2πk, או X = 5π/6 + 2πk.

נעתיק: 2T² - 3T + 1 = 0.\nנשתמש בנוסחת שורשי משוואה ריבועית: Δ = 9 - 8 = 1.\nT = (3 ± 1)/4.\nלכן T1 = 1, T2 = 0.5.\nסינוס X = 1 => X = π/2 + 2πk.\nסינוס X = 0.5 => X = π/6 + 2πk או X = 5π/6 + 2πk.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון משוואה טריגונומטרית בסיסית

פירוק משוואה טריגונומטרית עם סינוס וקוסינוס

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא ערכי X שמקיימים את המשוואה

  2. נתון 1

    נתון 1

    סינוס בריבוע X + סינוס X קוסינוס X = 0
  3. רעיון

    הרעיון המרכזי

    הוצאת גורם משותף כדי לפרק למשוואות פשוטות, פתרון כל משוואה בנפרד.

  4. נוסחה

    נוציא סינוס X כגורם משותף.

    סינוס X כפול (סינוס X ועוד קוסינוס X) = 0
  5. משוואה

    סינוס בריבוע X ועוד סינוס X קוסינוס X שווה לאפס.

    סינוס בריבוע X ועוד סינוס X קוסינוס X שווה לאפס.

  6. פישוט

    פתור סינוס X = 0 לקבלת קבוצת פתרונות.

    פתור סינוס X = 0 לקבלת קבוצת פתרונות.

    X = פאי כפול kx = k
  7. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    חלק בקוסינוס X ובצע שינוי משתנה לטנגנס X.

    טנגנס X = מינוס 1x = -1
  8. בדיקה

    בדיקה קצרה

    • הוצאת גורם משותף במצבים טריגונומטריים
    • שימוש בשיטת מכפלות לפתרון משוואות
    • זהירות: זיהוי לא נכון של גורם משותף

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

בחירת שיטה

מטרת הפתרון

מה עושים

למצוא את הערכים של X המקיימים את המשוואה.

למה

כדי לפתור משוואות טריגונומטריות חייבים לפרק ולהפשט.

אנו רוצים למצוא את כל הערכים של X שמקיימים את המשוואה הנתונה.

2

זיהוי נתונים

המשוואה הנתונה

מה עושים

סינוס בריבוע X ועוד סינוס X קוסינוס X שווה לאפס.

למה

זו המשוואה שעלינו לפתור.

sin^2 X + sin X cos X = 0.

3

בחירת שיטה

הוצאת גורם משותף

מה עושים

נוציא סינוס X כגורם משותף.

למה

כדי לפרק את הביטוי למכפלות ולהקל על הפתרון.

sin X (sin X + cos X) = 0

נוסחה / הצבה

סינוס X כפול (סינוס X ועוד קוסינוס X) = 0

הוצאת גורם משותף עוזרת לפיצול למשוואות פשוטות יותר.

4

בניית משוואה

פירוק למכפלות

מה עושים

קבלנו שני גורמים: סינוס X והביטוי sin X + cos X.

למה

כפי שידוע: מכפלה שווה לאפס כאשר אחד הגורמים שווה לאפס.

sin X = 0 או sin X + cos X = 0

נוסחה / הצבה

סינוס X = 0 או סינוס X + קוסינוס X = 0
5

פתרון

פתרון המשוואה הראשונה

מה עושים

פתור סינוס X = 0 לקבלת קבוצת פתרונות.

למה

פונקצית הסינוס שווה לאפס עבור כפולות π.

X = πk, כאשר k number{Z}

נוסחה / הצבה

X = פאי כפול kx = k

k הוא מספר שלם.

6

פתרון

פתרון sin X + cos X = 0

מה עושים

חלק בקוסינוס X ובצע שינוי משתנה לטנגנס X.

למה

החלוקה תוביל למשוואה פשוטה ב tan X

sin X / cos X = -1 \Rightarrow tan X = -1

נוסחה / הצבה

טנגנס X = מינוס 1x = -1

יש לזכור לבדוק תחום הגדרה לאחר חלוקה.

פתרונות כלליים

  • פתרון משוואת סינוס פשוטה עם גורם משותף: נוציא גורם משותף: סינוס X (סינוס X + קוסינוס X) = 0.\nנפתור את שתי המשוואות:\n1. סינוס X = 0 \u2013 פתרונות הם X = πk\n2. סינוס X + קוסינוס X = 0 \u2013 נחלק בקוסינוס X (בבדיקה תחום) ונקבל טנגנס X = -1. הפתרונות הם X = -π/4 + πk.
  • פתרון משוואת סינוס בריבוע בפולינום: נעתיק: 2T² - 3T + 1 = 0.\nנשתמש בנוסחת שורשי משוואה ריבועית: Δ = 9 - 8 = 1.\nT = (3 ± 1)/4.\nלכן T1 = 1, T2 = 0.5.\nסינוס X = 1 => X = π/2 + 2πk.\nסינוס X = 0.5 => X = π/6 + 2πk או X = 5π/6 + 2πk.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.