וידאו · משוואה טריגונומטרית
ב4. משוואה טריגונומטרית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור מתמקד בפתרון משוואות טריגונומטריות המשתמשות בטנגנס, בהבנת המשמעות של טנגנס כפונקציה ובאופן השימוש במחשבון לאיתור הפתרונות המתאימים. בנוסף, נלמד שימוש במבטא טנגנס כסינוס חלקי קוסינוס כדי לפתור משוואות מורכבות יותר.
- להבין כיצד לפתור משוואות טריגונומטריות המשתמשות בטנגנס
- להבין את המושג של טנגנס כפונקציה מוגדרת כשבר בין סינוס וכוסינוס
- להשתמש במחשבון למציאת ערכי זוויות בטנגנס
- לפתור משוואות עם טנגנס ותצטרך לתרגם אותן למשוואות פשוטות יותר
- להכיר וליישם מקרים מיוחדים של משוואות טריגונומטריות
- הגדרת טנגנס ומשמעותה: טנגנס מוגדר כשבר בין סינוס לכוסינוס של זווית מסוימת. הערכים שלו יכולים לשמש אותנו לפתרון משוואות טריגונומטריות.
- שימוש במחשבון למציאת זוויות מטנגנס: באמצעות פונקציית ה-inverse של טנגנס במחשבון, ניתן למצוא זוויות שמקיימות ערך טנגנס נתון. הפתרונות הם בזווית הראשית ועוד פאי כפול מספר שלם כלשהו.
- פתרון משוואות טריגונומטריות עם טנגנס: כאשר נתונה משוואה בטנגנס, ניתן להמיר אותה לשברים של סינוס על קוסינוס, להעביר אגפים ולהגיע למשוואה פשוטה לפתרון.
תרגול קצר
פתור את המשוואה tan(x) = √3
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה \( \tan(x) = \sqrt{3} \) בתחום כל הזוויות.
רמז: מצא את הזווית הראשית עם מחשבון, ואז הוסף פאי*k לפתרון הכללי.
פתרון מלא
תשובה סופית: \( x = \frac{\pi}{3} + \pi k \)
הזווית הראשית היא \( \frac{\pi}{3} \), לכן הפתרון הוא \( x = \frac{\pi}{3} + \pi k \), כאשר k הוא מספר שלם.
פתור את המשוואה 3sinx = \sqrt{3}cosx
רמת קושי: בינוני
פתור את המשוואה \( 3 \sin x = \sqrt{3} \cos x \) לכל הזוויות.
רמז: העבר אגפים וחלק בסינוס על קוסינוס כדי לקבל משוואת טנגנס.
פתרון מלא
תשובה סופית: \( x=\frac{\pi}{6}+\pi k \)
\( 3 \sin x = \sqrt{3} \cos x \) מעביר אגפים: \( \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sqrt{3}}{3} \) כלומר \( \tan x = \frac{\sqrt{3}}{3} \) הזווית הראשית \( x = \frac{\pi}{6} \), ולכן הפתרון הכללי הוא \( x=\frac{\pi}{6}+\pi k \).
פתור משוואת טנגנס עם ערך שלילי
רמת קושי: בגרות
פתור את המשוואה \( \tan x = -1 \) בתחום כל הזוויות.
רמז: מצא זווית ראשית בחצי המעגל המתאים, והוסף פאי*k.
פתרון מלא
תשובה סופית: \( x = -\frac{\pi}{4}+\pi k \) או \( x = \frac{3\pi}{4} + \pi k \)
הזווית הראשית היא \( -\frac{\pi}{4} \) או בחצי המעגל השני \( \frac{3\pi}{4} \) לכן, הפתרונות הם \( x = -\frac{\pi}{4}+\pi k \) או \( x = \frac{3\pi}{4} + \pi k \).
דרך הפתרון
פתרון משוואה טריגונומטרית עם טנגנס
שלב אחר שלב לפתרון המשוואה 3סינוס x = שורש 3 קוסינוס x
מפת פתרון
- מטרה
למצוא את כל הפתרונות של X
- נתון 1
3 סינוס X
- נתון 2
שורש 3 קוסינוס X
- רעיון
הרעיון המרכזי
המרה של משוואת סינוס וכוסינוס למשוואת טנגנס ופישוט לפתרון זוויות.
- נוסחה
משוואת טנגנס X שווה לשבר
3 * tan X = sqrt(3)3 X = 3 - משוואה
קיבלנו את המשוואה 3 סינוס X = שורש 3 קוסינוס X
קיבלנו את המשוואה 3 סינוס X = שורש 3 קוסינוס X
- פישוט
מחלקים את שני אגפי המשוואה ב-3
מחלקים את שני אגפי המשוואה ב-3
tan X = sqrt(3) / 3X = (3)/(3) - תוצאה
מסיימים בתשובה
הוסף את מחזוריות הפונקציה בטנגנס
X = pi / 6 + pi * kX=()/(6)+ k
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתון המשוואה
זיהוי נתונים
נתון המשוואה
מה עושים
קיבלנו את המשוואה 3 סינוס X = שורש 3 קוסינוס X
למה
זו המשוואה שעליה נשען הפתרון
יש לנו משוואת טריגונומטריה שדורשת פיתרון לזווית X
2בחירת שיטה
העבר אגפים וחלק במשוואה
בחירת שיטה
העבר אגפים וחלק במשוואה
מה עושים
מחלקים את שני אגפי המשוואה בקוסינוס X
למה
כדי לקבל ביטוי בטנגנס שמשפר את הפתרון
\(\frac{3 \sin X}{\cos X} = \frac{\sqrt{3} \cos X}{\cos X}\)
וודאו שקוסינוס לא אפס
3בניית משוואה
נוסח טנגנס X
בניית משוואה
נוסח טנגנס X
מה עושים
משוואת טנגנס X שווה לשבר
למה
כי טנגנס היא סינוס חלקי קוסינוס
\(3 \tan X = \sqrt{3}\)
נוסחה / הצבה
3 * tan X = sqrt(3)3 X = 34פתרון
פישוט המשוואה
פתרון
פישוט המשוואה
מה עושים
מחלקים את שני אגפי המשוואה ב-3
למה
להגיע לערך של טנגנס X לבחינה מהירה
\( \tan X = \frac{\sqrt{3}}{3} \)
נוסחה / הצבה
tan X = sqrt(3) / 3X = (3)/(3)5פתרון
מציאת זווית ראשית
פתרון
מציאת זווית ראשית
מה עושים
חשב את הזווית שהטנגנס שלה שווה לשורש 3 חלקי 3
למה
למצוא את הפתרון הראשוני לפונקציה
\( X = \frac{\pi}{6} \)
נוסחה / הצבה
X = pi / 6X=()/(6)אפשר להיעזר במחשבון
6תשובה
פתרון כללי
תשובה
פתרון כללי
מה עושים
הוסף את מחזוריות הפונקציה בטנגנס
למה
כי טנגנס מחזורי כל פאי
\( X = \frac{\pi}{6} + \pi k \), k ∈ Z
נוסחה / הצבה
X = pi / 6 + pi * kX=()/(6)+ kפתרונות כלליים
- פתור את המשוואה tan(x) = √3: הזווית הראשית היא \( \frac{\pi}{3} \), לכן הפתרון הוא \( x = \frac{\pi}{3} + \pi k \), כאשר k הוא מספר שלם.
- פתור את המשוואה 3sinx = \sqrt{3}cosx: \( 3 \sin x = \sqrt{3} \cos x \) מעביר אגפים: \( \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\sqrt{3}}{3} \) כלומר \( \tan x = \frac{\sqrt{3}}{3} \) הזווית הראשית \( x = \frac{\pi}{6} \), ולכן הפתרון הכללי הוא \( x=\frac{\pi}{6}+\pi k \).
- פתור משוואת טנגנס עם ערך שלילי: הזווית הראשית היא \( -\frac{\pi}{4} \) או בחצי המעגל השני \( \frac{3\pi}{4} \) לכן, הפתרונות הם \( x = -\frac{\pi}{4}+\pi k \) או \( x = \frac{3\pi}{4} + \pi k \).