במהלך השיעור דנו בבניית וקטורים נורמליים למישורים שונים, שימוש בדוט פרודקט לחישוב זוויות בין מישורים, והתבססנו על מישור הקרקע כמישור XY. הוסבר תהליך בניית וקטורים וחשבנו את ערך הקוסינוס של הזווית בין מישורים.
ללמוד לייצג מישורים באמצעות וקטורים נורמליים
לחשב את זווית בין שני מישורים בעזרת מכפלה סקלרית (דוט פרודקט)
להבין חשיבות בחירת מערכת צירים מתאימה
לתרגל חישובי וקטורים ומכפלה סקלרית 3D
ייצוג וקטורי של מישורים: הבנו כיצד לייצג מישור באמצעות וקטור נורמלי בתלת ממד.
חישוב זווית בין מישורים: נכין וקטורים נורמליים לכל מישור ונשתמש בדוט פרודקט כדי לקבל את קוסינוס הזווית ביניהם.
תהליך חישוב והסקת מסקנות: הדגמנו שלבים מפורטים אל תוך חישובי זווית כולל פישוט תוצאות.

תרגול קצר

חישוב קוסינוס הזווית בין מישורים

רמת קושי: קל

ממתין

נתון מישור הקרקע כמישור XY עם וקטור נורמל (0,0,1) ומישור שני המוגדר בוקטור נורמל (4,0,3). חשב את קוסינוס הזווית ביניהם.

וקטוריםזווית בין מישוריםדוט פרודקט

רמז: השתמש בנוסחה של קוסינוס זווית בין שני וקטורים; נורמל הוא וקטור ישר לאותו המישור.

פתרון מלא

תשובה סופית: 0.6

נחשב את המכפלה הסקלרית בין הוקטורים: (0,0,1) · (4,0,3) = 0*4 + 0*0 + 1*3 = 3 נחשב את הנורמות: ||(0,0,1)|| = שורש(0²+0²+1²)=1 ||(4,0,3)|| = שורש(4²+0²+3²)= שורש(16+0+9) = שורש(25) =5 לכן, cos α = |3 / (1*5)| = 3/5 = 0.6

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מחשבים את הזווית בין מישור הקרקע למישור שני

חישוב קוסינוס הזווית בין וקטורים נורמליים

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא קוסינוס הזווית בין שני המישורים
נתון 1
וקטור נורמל למישור הקרקע: (0,0,1)
נתון 2
וקטור נורמל למישור שני: (4,0,3)
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את המכפלה הסקלרית בין שני הוקטורים, נמצא את הנורמות שלהן, ונחלק את המכפלה במכפלת הנורמות.
נוסחה
a · b = 0*4 + 0*0 + 1*3 = 3; ||a|| = שורש 1; ||b|| = שורש 16+0+9 = 5
a dot b = 3norm a = 1norm b = 5a · b = 3||a|| = 1
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
cos α = 3 / (1 * 5) = 0.6
cos α = 3 / (1 * 5) = 0.6
cos alpha = 0.6cos α = 0.6
תוצאה
מסיימים בתשובה
0.6 הוא ערך סביר לקוסינוס זווית בין מישורים

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

וקטור נורמל למישור הקרקע

מה עושים

הוקטור הוא (0,0,1) כי מישור הקרקע הוא XY

למה

וקטור במקביל לציר Z הוא נורמל למישור XY

וקטור נורמל הוא וקטור שניצב למישור

זיהוי נתונים

וקטור נורמל למישור שני

מה עושים

הוקטור הוא (4,0,3) לפי הערכים שניתנו

למה

וקטור זה מייצג את הכיוון הניצב למישור השני

נלקחו ערכי הרכיבים בהתאם למה שמוסבר בשיעור

בחירת שיטה

קוסינוס זווית ממכפלה סקלרית

מה עושים

נשתמש בנוסחה cos α = |a · b| / (||a|| * ||b||)

למה

המכפלה הסקלרית מייצגת חיבור כיווני הוקטורים

נוסחה לחישוב הזווית בין שני וקטורים במרחב

נוסחה / הצבה

cos alpha= absolute value of (a dot b) divided by (norm a times norm b)cos α = |a · b| / (||a|| * ||b||)= (|a * b|)/(\|a\| \|b\|)

יש לזכור לקחת ערך מוחלט כדי לקבל זווית בין 0 ל-180 מעלות

בניית משוואה

נחשב מכפלה סקלרית ונורמות

מה עושים

a · b = 0*4 + 0*0 + 1*3 = 3; ||a|| = שורש 1; ||b|| = שורש 16+0+9 = 5

למה

חישוב רכיבי המכפלה הסקלרית הוא שלב חשוב ומהיר

השגות חשובות לחישוב ערכים מדויקים

נוסחה / הצבה

a dot b = 3norm a = 1norm b = 5a · b = 3||a|| = 1

ודא לחשב כל רכיב נכון בשביל תוצאה מדויקת

פתרון

חשב את קוסינוס הזווית

מה עושים

cos α = 3 / (1 * 5) = 0.6

למה

חלוקת המכפלה במכפלת הנורמות נותנת את קוסינוס הזווית

קיבלנו את התוצאה המספרית המבוקשת

נוסחה / הצבה

cos alpha = 0.6cos α = 0.6

תוצאה זו מייצגת זווית בין המישורים

בדיקה

שקול את התוצאה

מה עושים

0.6 הוא ערך סביר לקוסינוס זווית בין מישורים

למה

ערכי קוסינוס בין 0 ל-1 תקינים לזוויות בין 0 ל-90 מעלות

לפי התוצאה, הזווית היא בערך 53 מעלות

פתרונות כלליים

חישוב קוסינוס הזווית בין מישורים: נחשב את המכפלה הסקלרית בין הוקטורים: (0,0,1) · (4,0,3) = 0*4 + 0*0 + 1*3 = 3 נחשב את הנורמות: ||(0,0,1)|| = שורש(0²+0²+1²)=1 ||(4,0,3)|| = שורש(4²+0²+3²)= שורש(16+0+9) = שורש(25) =5 לכן, cos α = |3 / (1*5)| = 3/5 = 0.6

הפריט הקודם הפריט הבא

ו7. אימון בהנדסת המרחב

ניווט לפי נושאים

הנדסת המרחב

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא קוסינוס הזווית בין שני המישורים

וקטור נורמל למישור הקרקע: (0,0,1)

וקטור נורמל למישור שני: (4,0,3)

הרעיון המרכזי

a · b = 0*4 + 0*0 + 1*3 = 3; ||a|| = שורש 1; ||b|| = שורש 16+0+9 = 5

נבנה משוואה

cos α = 3 / (1 * 5) = 0.6

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

וקטור נורמל למישור הקרקע

וקטור נורמל למישור שני

קוסינוס זווית ממכפלה סקלרית

נחשב מכפלה סקלרית ונורמות

חשב את קוסינוס הזווית

שקול את התוצאה

פתרונות כלליים

a · b = 04 + 00 + 1*3 = 3; ||a|| = שורש 1; ||b|| = שורש 16+0+9 = 5