בשיעור זה נלמד כיצד לבצע חקירה לוגריתמית של פונקציה הכוללת מציאת נקודות קיצון באמצעות גזירה, פתרון משוואה לוגריתמית ובדיקת ערכים במחשבון. נעבור שלב שלב על תהליך פתרון המשוואות וכיצד להשתמש במחשבון כדי לוודא את התוצאות.
להבין כיצד לגזור פונקציה לוגריתמית מורכבת
לפתור משוואות לוגריתמיות בדמות ln בריבוע של x ועוד תוספות
לזהות נקודות קיצון של הפונקציה על ידי פתרון המשוואה נגזרת שווה לאפס
להשתמש במחשבון לקביעת ערכי הפונקציה בנקודות קריטיות
להבין חשיבות חקירת הפונקציה ככלי לפתרון משוואות מורכבות
גזירת הפונקציה: תהליך גזירת פונקציה לוגריתמית מורכבת המסביר צמצום ושלבים אלגבריים
פתרון משוואה לוגריתמית: פיתרון המשוואה 1 מינוס ln בריבוע של x שווה אפס, זיהוי פתרונות לשורש הריבועי של הלוגריתם ושליליו
בדיקה ושימוש במחשבון: הצגת שימוש במחשבון כדי להכניס ערכים בנגזרות ולבדוק שינויים בערכי ה-y סביב נקודות קיצון

תרגול קצר

מציאת נקודות קיצון לפונקציה לוגריתמית

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה פונקציה f(x) הכוללת ln(x). מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה על ידי חקירת הנגזרת.

לוגריתמיםנקודות קיצוןנגזרותחקירה פונקציונלית

רמז: פתח את נגזרת הפונקציה, הפוך למשוואה, הצב ל-0 ופתור את המשוואה הלוגריתמית.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = e, x = 1/e

הוצא את המכנה המשותף בנגזרת, כתוב את המשוואה 1 - (ln x)^2 = 0. פתר את המשוואה לקבלת ln x = ±1. מצא את הערכים של x מהמשוואה, בדוק בעזרת המחשבון באילו נקודות יש מקסימום ומינימום.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקירת נקודות קיצון בפונקציה לוגריתמית

שלבים לפתרון ונקודת קיצון

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערכי x שגורמים לנגזרת להיות 0 / סיווג נקודות הקיצון למקסימום או מינימום
נתון 1
נתון 1
נגזרת הפונקציה (d/dx) הכוללת ביטויים עם ln(x)
נתון 2
נתון 2
המשוואה המתקבלת 1 - (ln x)^2 = 0
רעיון
הרעיון המרכזי
פשטו את המשוואה לקבלת ln x = ±1, חשבו את הערכים של x, ובדקו את סוג נקודת הקיצון בעזרת המחשבון.
נוסחה
כתבו את המשוואה: 1 פחות ln בריבוע של x שווה 0
1-(ln x)^2= 01 - (ln x)^2 = 0
משוואה
פשט את המשוואה ל-ln x = ±1
פשט את המשוואה ל-ln x = ±1
(ln x)^2 = 1ln x = +1 או ln x = -1(ln x)^2 = 1 => ln x = ±1( x)^2 = 1 => x = 1
פישוט
המירו לוגרים לערכים: x = e ו-x = 1/e
המירו לוגרים לערכים: x = e ו-x = 1/e
x = ex = 1 / e
תוצאה
מסיימים בתשובה
נקודת מינימום בנקודה עם ירידה ועולה, נקודת מקסימום להפך

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

בניית משוואה

קבע משוואה לנגזרת שווה ל-0

מה עושים

כתבו את המשוואה: 1 פחות ln בריבוע של x שווה 0

למה

כך נמצא המצע האפשרי לנקודות קיצון

משוואת נקודת קיצון מהנגזרת שווה לאפס

נוסחה / הצבה

1-(ln x)^2= 01 - (ln x)^2 = 0

זכרו להוציא מכנה משותף לפני

פתרון

פתור את המשוואה ללוגריתם

מה עושים

פשט את המשוואה ל-ln x = ±1

למה

מקבל פתרונות לוגריתמיים חיוביים ושליליים

לקיחת שורש ריבועי משוואה פשוטה

נוסחה / הצבה

(ln x)^2 = 1ln x = +1 או ln x = -1(ln x)^2 = 1 => ln x = ±1( x)^2 = 1 => x = 1

זכור שפתרון שלילי שווה לנגזרת של פונקציה על תחום מוגדר

פתרון

חשב את ערך x

מה עושים

המירו לוגרים לערכים: x = e ו-x = 1/e

למה

כדי לקבל נקודות קיצון מספריות

הצבה של ערכים אחרי פתרון לוגריתמי

נוסחה / הצבה

x = ex = 1 / ex = e^1 = e, x = e^(-1) = 1/ex = e, x = (1)/(e)

זכור את ערך e בקירוב 2.718

בחירת שיטה

בדוק את סוג נקודות הקיצון

מה עושים

השתמש במחשבון להצבה בנגזרת סביב נקודות אלו

למה

כדי לדעת אם המפנה עולה או יורד סביב נקודות אלו

בדוק אם הפונקציה עולה או יורדת לפני ואחרי הנקודות

הצבה בערכים קטנים וגדולים מהנקודה עוזרת להבין

תשובה

סכם את נקודות הקיצון

מה עושים

נקודת מינימום בנקודה עם ירידה ועולה, נקודת מקסימום להפך

למה

לסיכום סוגי נקודות הקיצון

הגדר את הסוג הסופי של נקודות הקיצון

סמן נקודות אלה כדי לעזור בשרטוט

פתרונות כלליים

מציאת נקודות קיצון לפונקציה לוגריתמית: הוצא את המכנה המשותף בנגזרת, כתוב את המשוואה 1 - (ln x)^2 = 0. פתר את המשוואה לקבלת ln x = ±1. מצא את הערכים של x מהמשוואה, בדוק בעזרת המחשבון באילו נקודות יש מקסימום ומינימום.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב3. חקירה של פונקציה לוגריתמית מציאת נקודות קיצון בקרה במחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה לוגריתמית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערכי x שגורמים לנגזרת להיות 0 / סיווג נקודות הקיצון למקסימום או מינימום

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

כתבו את המשוואה: 1 פחות ln בריבוע של x שווה 0

פשט את המשוואה ל-ln x = ±1

המירו לוגרים לערכים: x = e ו-x = 1/e

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

קבע משוואה לנגזרת שווה ל-0

פתור את המשוואה ללוגריתם

חשב את ערך x

בדוק את סוג נקודות הקיצון

סכם את נקודות הקיצון

פתרונות כלליים