בחלק זה של השיעור לומדים כיצד לגזור פונקציה לוגריתמית מורכבת הכוללת לוגריתם טבעי, להשתמש בכלל הנגזרת למנה ולזהות נקודות קיצון באמצעות השוואת נגזרת לאפס והצבת ערכים במחשבון.
להבין את נגזרת הלוגריתם הטבעי Lan של פונקציה
ליישם כלל נגזרת למנה לחישוב נגזרת פונקציות מורכבות
למצוא ערך הפרמטר a המשפיע על צורת הפונקציה
להשתמש בבקרה במחשבון לאימות נכון הפתרון
להבין את המשמעות הגיאומטרית של נקודת קיצון ופירוש השיפוע
לתרגל דיוק וכתיבה מסודרת בחקירת פונקציה
סיכום התהליכים בנגזרת פונקציה לוגריתמית: הסבר כיצד לגזור פונקציית לוגריתם טבעי בצורה מסודרת בעזרת כלל המנה ועם תשומת לב לנגזרות פנימיות בכלל.
מציאת פרמטר a על ידי הצבת נקודת משיק עם שיפוע אפס: קביעה ונוספה של ערך הפרמטר a כך שהנגזרת בנקודה x=e תהיה שווה לאפס, כלומר המשיק יהיה מקביל לציר x.
בקרה עם מחשבון: שימוש במחשבון להקלדת נגזרת הפונקציה, בהצבת x=e, ולוודא שהערך אכן שווה לאפס כמראה שהפתרון נכון.

תרגול קצר

חישוב נגזרת של פונקציית לוגריתם טבעי פשוטה

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את הנגזרת של y=Lan(x)

נגזרותלוגריתם טבעיבסיס

רמז: זכור כי נגזרת Lan(x) היא 1 חלקי x

פתרון מלא

תשובה סופית: 1 / x

y' = 1 / x

מציאת נגזרת לפונקציה עם מנה ולוגריתם טבעי

רמת קושי: בינוני

ממתין

חשב את הנגזרת של y = Lan(1/x) + a * Lan(x) כאשר a מספר ממשי.

נגזרותלוגריתם טבעיכלל המנה

רמז: השתמש בכלל נגזרת מנה ונגזרת Lan(x).

פתרון מלא

תשובה סופית: y' = -1/x + a * (1/x)

y' = נגזרת של Lan(1/x) + a * נגזרת של Lan(x) כאשר נגזרת Lan(1/x) = 1 חלקי (1/x) כפול נגזרת (1/x) = 1/(1/x) * (-1/x^2) = -1/x

מציאת הפרמטר a כך שהמשיק בנקודה x=e יהיה מקביל לציר x

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונה הפונקציה y=Lan(1/x) + a * Lan(x). מצא את הערך של a כך שהמשיק לנקודה x=e יהיה מקביל לציר ה-x.

נגזרותלוגריתם טבעינקודות קיצוןהצבת ערכים

רמז: חשב את הנגזרת y' והציב x=e. המשיק מקביל לציר x אם y'(e) = 0.

פתרון מלא

תשובה סופית: a = 1

y' = -1/x + a * 1/x הצבת x=e: 0 = -1/e + a * 1/e נכפיל ב-e ונקבל: 0 = -1 + a לכן a = 1

בחירת ערך הפרמטר לבדיקה לפי נגזרת

רמת קושי: בגרות

ממתין

הפונקציה y=Lan(1/x) + a * Lan(x) עוברת נקודת משיק ב-x=e כאשר המשיק מקביל לציר x. מצא את ערך a.

הפשטת נגזרותמשוואותלוגריתם

רמז: חשב נגזרת, הצב x=e, ופתור משוואה לאפס.

פתרון מלא

תשובה סופית: a=1

נגזרת הפונקציה היא y' = -1/x + a * 1/x נציב x=e ונשווה לאפס: 0 = -1/e + a / e כפול e: 0 = -1 + a לכן: a=1

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מציאת הפרמטר a עבור פונקציה לוגריתמית

איך לחשב את הפרמטר a כך שהמשיק ב-x=e יהיה מקביל לציר x

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך הפרמטר a
נתון 1
נתון 1
y=Lan(1/x)+a*Lan(x)
נתון 2
נתון 2
משיק בנקודה x=e הוא מקביל לציר x (שיפוע = 0)
רעיון
הרעיון המרכזי
חשב את נגזרת הפונקציה, הצב x=e, ושווה את התוצאה לאפס כדי למצוא את a.
נוסחה
נגזרת Lan(1/x) היא 1/(1/x) כפול נגזרת (1/x); נגזרת Lan(x) היא 1/x
d/dx Lan(1/x)= 1/(1/x) * d/dx(1/x)= 1/(1/x) * (-1/x^2)= -1/xd/dx Lan(x) = 1/x
משוואה
נכפיל ונבדוק שהנגזרת שווה 0 בנקודה x=e
נכפיל ונבדוק שהנגזרת שווה 0 בנקודה x=e
y'(e) = -1/e + 1/e = 0
פישוט
y' = -1/x + a*1/x, הצב x=e וקבל 0 = -1/e + a/e
y' = -1/x + a*1/x, הצב x=e וקבל 0 = -1/e + a/e
y' = -1/x + a * (1/x)0 = -1/e + a / e
תוצאה
מסיימים בתשובה
a=1

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

פונקציה ומשיק בנקודה

מה עושים

נתונה הפונקציה y=Lan(1/x)+a*Lan(x) והמשיק בנקודה x=e מקביל לציר x

למה

רוצים למצוא את a כך שהנגזרת בנקודה זו תהיה אפס

נתונים הפונקציה והנקודה שבה נבדוק את השיפוע.

בחירת שיטה

למצוא את הנגזרת של הפונקציה

מה עושים

חשב נגזרת של כל רכיב בפונקציה y

למה

הנגזרת משקפת את השיפוע של המשיק בנקודה הרצויה

השתמש בכלל נגזרת מנה ונגזרת הלוגריתם הטבעי.

בניית משוואה

נציב את הנגזרת של כל חלק

מה עושים

נגזרת Lan(1/x) היא 1/(1/x) כפול נגזרת (1/x); נגזרת Lan(x) היא 1/x

למה

ברור מהנגזרת כדי לעבור לחלק הבא של הפתרון

החלפת נגזרות לפי כללים.

נוסחה / הצבה

d/dx Lan(1/x)= 1/(1/x) * d/dx(1/x)= 1/(1/x) * (-1/x^2)= -1/xd/dx Lan(x) = 1/x

פתרון

פישוט הנגזרת ושוויון לאפס בנקודה x=e

מה עושים

y' = -1/x + a*1/x, הצב x=e וקבל 0 = -1/e + a/e

למה

משוואת שיפוע המשיק שווה לאפס נותנת ערך ל-a

כפול ב-e ונמצא a=1

נוסחה / הצבה

y' = -1/x + a * (1/x)0 = -1/e + a / e0 = -1 + a=> a=1

כפול במכנה כדי לפשט לפני הפתרון

בדיקה

הצבת ערך a ובדיקת נכונות

מה עושים

נכפיל ונבדוק שהנגזרת שווה 0 בנקודה x=e

למה

לוודא שאין טעויות בחישוב

אימות על ידי הצבה במחשבון או חישוב ידני.

נוסחה / הצבה

y'(e) = -1/e + 1/e = 0

השתמשו במחשבונים לבקרה מדויקת

תשובה

הפרמטר a

מה עושים

a=1

למה

כדי שהמשיק יהיה מקביל לציר x בנקודה x=e

זה הפתרון הרצוי המדויק.

פתרונות כלליים

חישוב נגזרת של פונקציית לוגריתם טבעי פשוטה: y' = 1 / x
מציאת נגזרת לפונקציה עם מנה ולוגריתם טבעי: y' = נגזרת של Lan(1/x) + a * נגזרת של Lan(x) כאשר נגזרת Lan(1/x) = 1 חלקי (1/x) כפול נגזרת (1/x) = 1/(1/x) * (-1/x^2) = -1/x
מציאת הפרמטר a כך שהמשיק בנקודה x=e יהיה מקביל לציר x: y' = -1/x + a * 1/x הצבת x=e: 0 = -1/e + a * 1/e נכפיל ב-e ונקבל: 0 = -1 + a לכן a = 1
בחירת ערך הפרמטר לבדיקה לפי נגזרת: נגזרת הפונקציה היא y' = -1/x + a * 1/x נציב x=e ונשווה לאפס: 0 = -1/e + a / e כפול e: 0 = -1 + a לכן: a=1

הפריט הקודם הפריט הבא

ב1. חקירה של פונקציה לוגריתמית מציאת פרמטרים בקרה במחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה לוגריתמית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערך הפרמטר a

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

נגזרת Lan(1/x) היא 1/(1/x) כפול נגזרת (1/x); נגזרת Lan(x) היא 1/x

נכפיל ונבדוק שהנגזרת שווה 0 בנקודה x=e

y' = -1/x + a*1/x, הצב x=e וקבל 0 = -1/e + a/e

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

פונקציה ומשיק בנקודה

למצוא את הנגזרת של הפונקציה

נציב את הנגזרת של כל חלק

פישוט הנגזרת ושוויון לאפס בנקודה x=e

הצבת ערך a ובדיקת נכונות

הפרמטר a

פתרונות כלליים