MMATH
התחברות

וידאו · משוואה מעריכית

א8. משוואות מעריכיות

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בפתרון משוואות מעריכיות על ידי השוואת בסיסים זהים ושימוש בנוסחאות חזקה. מוצגים דוגמאות ותרגילים שונים בפתרון משוואות מעריכיות ברמות שונות עם בסיסים כמו 2, 3, 5 ועוד.
  • לזהות משוואה מעריכית ולהביאה לבסיסים שווים
  • לכתוב ולהשוות מעריכים במשוואות עם בסיסים זהים
  • לפתור משוואות מעריכיות פשוטות ומורכבות
  • ליישם חוקי חזקות בפישוט משוואות מעריכיות
  • להכניס סימונים משתנים לפישוט פתרון משוואה
  • להבין ולהשתמש בטכניקות חיבור חזקות ומשוואות ריבועיות במעריכים
  • הקדמה והצגת התרגילים: מתחילים בפתרון תרגילים מחזקות ומשוואות מעריכיות המבוססות על בסיס 2 ובהשוואת מעריכים לאחר הבאתם לבסיס משותף.
  • כפולות וחזקות עם בסיס 5 ו-3: פתרון תרגילים עם בסיסי 5 ו-3, שימוש בתכונות חזקות והשוואת מעריכים, כולל מיעוט טעויות וניסיונות בפישוט.
  • תרגילים מתקדמים ושימוש במשוואות ריבועיות: נכנסים למשוואות מעריכיות שמובילות למשוואות ריבועיות במשתנה, תוך פתרון כולל של מבנה המשוואה והחזרת הערך הנדרש למשוואה המקורית.

תרגול קצר

פתרון משוואה בסיסית עם בסיס 2

רמת קושי: קל

ממתין

פתור את המשוואה 2 בחזקת x ועוד 8 שווה ל-16.

משוואה מעריכיתבסי בסיס 2השוואת מעריכים

רמז: הבא את שני אגפי המשוואה לפורמט 2 בחזקת משהו והשווה מעריכים.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = -4

2 בחזקת x ועוד 8 = 16 מתבטא כ- 2^(x+8) = 2^4. משווים מעריכים: x+8=4. עובר אגף מינוס 8: x=4-8=-4.

משוואה מעריכית בסיס 8 ו-4

רמת קושי: קל

ממתין

פתור את המשוואה: 8 בחזקת x מינוס 2 = 4 בחזקת 4 מינוס 2x.

משוואה מעריכיתהמרה לבסיס 2השוואת מעריכים

רמז: הבא את שני האגפים לבסיס 2 והשתמש בחוק חזקה על חזקה.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = 2

8=2^3, 4=2^2. המשוואה: (2^3)^(x-2) = (2^2)^(4-2x) => 2^{3x-6}= 2^{8-4x}. משווים מעריכים: 3x-6 = 8-4x. מפשטים: 7x=14, x=2.

פתרון משוואה עם בסיס 5 וחזקות ותוספות

רמת קושי: בינוני

ממתין

פתור את המשוואה: 5 בחזקת x כפול 125 שווה ל-25 בחזקת x.

משוואה מעריכיתבסיס 5הכפלת חזקות

רמז: הבא את 125 ו-25 לבסיס 5 והשתמש בחוקי חזקות לפישוט.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = 3

125=5^3, 25=5^2. המשוואה: 5^x * 5^3 = 5^{2x} => 5^{x+3} = 5^{2x}. משווים מעריכים: x+3=2x => x=3.

פתרון משוואה מעריכית מובילה למשוואה ריבועית במשתנה ביניים

רמת קושי: מאתגר

ממתין

פתור את המשוואה: 3 כפול 81 בחזקת x פחות 82 כפול 9 בחזקת x ועוד 27 שווה ל-0.

משוואה מעריכיתמשוואה ריבועיתסימון משתנה ביניים

רמז: סמן טי=9 בחזקת x כדי לקבל משוואה ריבועית בטי.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = -0.5 או x = 1.5

81=9^2, לכן 3*9^{2x} - 82*9^x + 27=0. עם טי=9^x, המשוואה היא 3 טי^2 - 82 טי + 27=0. פתרון משוואה ריבועית יניב טי=1/3 או טי=27. חזור לטי=9^x, חשב x ומצא: x=-1/2 או x=1.5.

פתרון משוואה מעריכית מהקורס

רמת קושי: בגרות

ממתין

פתור את המשוואה 2 בחזקת x ועוד 8 שווה ל-16.

משוואה מעריכיתבגרותבסיס 2

רמז: הבא את שני האגפים לבסיס 2 כדי להשוות מעריכים.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = -4

2^(x+8) = 2^4, משווים מעריכים: x+8=4, x= -4.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון משוואה מעריכית פשוטה

2 בחזקת x ועוד 8 שווה ל-16

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא ערך x satisfying the משוואה

  2. נתון 1

    נתון 1

    2 בחזקת x ועוד 8 = 16
  3. רעיון

    הרעיון המרכזי

    הבא את שני אגפי המשוואה לבסיס 2 זהה, והשווה את המעריכים.

  4. נוסחה

    2^{x+8} = 2^{4}

    2^(x + 8) = 2^42^(x+8) = 2^4
  5. משוואה

    2 בחזקת x ועוד 8 שווה ל-16

    2 בחזקת x ועוד 8 שווה ל-16

  6. פישוט

    עבור אגף ימין מינוס 8

    עבור אגף ימין מינוס 8

    x = -4
  7. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    הפתרון הוא x שווה מינוס 4

    x = -4
  8. בדיקה

    בדיקה קצרה

    • הבטחת הבאת שני אגפי המשוואה לבסיסים זהים
    • הבנת חוק ההשוואה בין מעריכים
    • זהירות: שכחה להמיר את המספרים לבסיס זהה לפני השוואה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

המשוואה הנתונה

מה עושים

2 בחזקת x ועוד 8 שווה ל-16

למה

זו המשוואה שעלינו לפתור

כתוב את המשוואה כפי שהיא ניתנה

2

בחירת שיטה

הפוך את המספר 16 לבסיס 2

מה עושים

הבע את 16 כחזקה של 2

למה

כדי שנוכל להשוות בין החזקות

16 = 2 בחזקת 4

חשוב למצוא את החזקה של 2 שווה למספר מצד ימין

3

בניית משוואה

כתיבת המשוואה עם בסיסים שווים

מה עושים

2^{x+8} = 2^{4}

למה

משווים בין שני הביטויים עם אותו בסיס

מאז שיש את אותה בסיס, ניתן להשוות בין המעריכים

נוסחה / הצבה

2^(x + 8) = 2^42^(x+8) = 2^4
4

בניית משוואה

השווה את המעריכים

מה עושים

x + 8 = 4

למה

בהסתמך על חוקי החזקות עם בסיסים זהים

המעריכים שווים ולכן ניתן לכתוב משוואה בין המעריכים

נוסחה / הצבה

x + 8 = 4
5

פתרון

חשב את x

מה עושים

עבור אגף ימין מינוס 8

למה

כדי לקבל את ערך x

x = 4 - 8

נוסחה / הצבה

x = -4
6

תשובה

פתרון המשוואה

מה עושים

הפתרון הוא x שווה מינוס 4

למה

כך מתקבלת התוצאה הנכונה

x = -4

נוסחה / הצבה

x = -4

פתרונות כלליים

  • פתרון משוואה בסיסית עם בסיס 2: 2 בחזקת x ועוד 8 = 16 מתבטא כ- 2^(x+8) = 2^4. משווים מעריכים: x+8=4. עובר אגף מינוס 8: x=4-8=-4.
  • משוואה מעריכית בסיס 8 ו-4: 8=2^3, 4=2^2. המשוואה: (2^3)^(x-2) = (2^2)^(4-2x) => 2^{3x-6}= 2^{8-4x}. משווים מעריכים: 3x-6 = 8-4x. מפשטים: 7x=14, x=2.
  • פתרון משוואה עם בסיס 5 וחזקות ותוספות: 125=5^3, 25=5^2. המשוואה: 5^x * 5^3 = 5^{2x} => 5^{x+3} = 5^{2x}. משווים מעריכים: x+3=2x => x=3.
  • פתרון משוואה מעריכית מובילה למשוואה ריבועית במשתנה ביניים: 81=9^2, לכן 3*9^{2x} - 82*9^x + 27=0. עם טי=9^x, המשוואה היא 3 טי^2 - 82 טי + 27=0. פתרון משוואה ריבועית יניב טי=1/3 או טי=27. חזור לטי=9^x, חשב x ומצא: x=-1/2 או x=1.5.
  • פתרון משוואה מעריכית מהקורס: 2^(x+8) = 2^4, משווים מעריכים: x+8=4, x= -4.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.