וידאו · משוואה מעריכית
א7. משוואות מעריכיות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור בנושא משוואות מעריכיות, עם דגש מיוחד על פתרון משוואות עם סוגריים ומכפלות לאפס, והבנת מצבים בהם הפתרון הוא דמיוני (כולל דוגמאות).
- להבין כיצד לפתור משוואות מכפלה המסדרות לאפס
- לזהות מתי משוואה אינה ניתנת לפתרון ממשי ונותנת פתרון דמיוני
- להעניק ביטוי נכון לפתרונות במשוואות לוגריתמיות פשוטות
- לנצל את חוקי הכפל לפישוט משוואות
- משוואות עם סוגריים ומכפלות באפס: משוואה המכילה מכפלות עם סוגריים הנמצאות באפס מאפשרת לפתור באמצעות חוק המכפלה לאפס: אחד מתוך הגורמים חייב להיות אפס.
- פתרון משוואות לוגריתמיות ומעריכיות פשוטות: בטיפול במשוואות מעריכיות ולוגריתמיות פשוטות יש להשתמש בעליית פונקציות ופעולות הפוכות.
- תשובות דמיוניות ופתרון לא ממשי: כאשר פותרי משוואות מדגימים פתרונות עם מרכיב דמיוני (I), המשמעות היא שאין פתרון ממשי במסגרת שפת הלימוד.
תרגול קצר
פתור משוואה עם מכפלה לאפס
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה (x-2)(x-3) = 0
רמז: אם המכפלה שווה לאפס, לפחות אחד מהגורמים שווה לאפס.
פתרון מלא
תשובה סופית: x=2 או x=3
נציב כל גורם שווה לאפס ונפתור: x-2=0 כלומר x=2, או x-3=0 כלומר x=3. התשובות הן 2 ו-3.
פתור משוואה מעריכית פשוטה
רמת קושי: קל
פתור את המשוואה 3^x = 9
רמז: העלה את שני האגפים ללוגריתם על בסיס 3 או זיכרון שה9 שווה 3 בחזקת 2.
פתרון מלא
תשובה סופית: x=2
9 שווה 3 בריבוע אז המשוואה היא 3^x = 3^2 ולכן x=2.
פתור משוואה לוגריתמית
רמת קושי: בינוני
פתור את המשוואה log_7(x) = 2
רמז: הסירו את הלוגריתם בהעלאות בחזקת 7
פתרון מלא
תשובה סופית: x=49
לפי הלוגריתם, log_7(x)=2 משמע x=7^2=49.
פתור משוואה מעריכית עם ביטוי מורכב
רמת קושי: מאתגר
פתור את המשוואה 3^(2x) - 3^x = 6
רמז: הציבו y = 3^x ופשטו את המשוואה
פתרון מלא
תשובה סופית: x=1
הגדר y=3^x, המשוואה היא y^2 - y - 6=0. פתרון המשוואה: (y-3)(y+2)=0, לכן y=3 או y=-2. y=3^x ולכן 3^x=3 מניב x=1. y=-2 אינו פתרון אמיתי כי 3^x תמיד חיובי.
בחינה: פתרון משוואות מכפלה לאפס
רמת קושי: בגרות
פתור את המשוואה (x^2 - 5x + 6)(x-7) = 0
רמז: פירוק הסוגריים משוואה ריבועית וגם מכפלה לאפס
פתרון מלא
תשובה סופית: x=2 או x=3 או x=7
פרק את הביטוי הראשון: x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3), אז המשוואה היא (x-2)(x-3)(x-7) = 0. לפי חוק המכפלה, כל אחד מהגורמים יכול להיות 0: x=2 או x=3 או x=7.
דרך הפתרון
כיצד לפתור משוואה עם מכפלות באפס
הבנת חוק המכפלה לאפס ויישומו
מפת פתרון
- מטרה
למצוא מצא את כל ערכי x שמקיימים את המשוואה
- נתון 1
המשוואה נתונה כפול של שני ביטויים
- נתון 2
המכפלה שווה לאפס
- רעיון
הרעיון המרכזי
לפי חוק המכפלה, אם מכפלה שווה לאפס אז לפחות אחד הגורמים צריך להיות אפס, לכן נפתור כל אחד מהם
- נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
- משוואה
(x-2)(x-3) = 0
(x-2)(x-3) = 0
- פישוט
x=2 ו- x=3
x=2 ו- x=3
- תוצאה
מסיימים בתשובה
נציב x=2 או x=3 ונראה שהשוויון מתקיים
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתון את המשוואה
זיהוי נתונים
נתון את המשוואה
מה עושים
(x-2)(x-3) = 0
למה
זו המשוואה שעלינו לפתור
המשוואה היא מכפלה של שני ביטויים השווים לאפס
2בחירת שיטה
החוק המרכזי לפתרון
בחירת שיטה
החוק המרכזי לפתרון
מה עושים
אם A*B=0 אז A=0 או B=0
למה
זו הדרך לפרק מכפלות לאפס לפתרון
החוק מאפשר לפרק משוואה למספר משוואות פשוטות יותר
נוסחה / הצבה
A * B = 0A = 0 או B = 0A * B = 0 => A = 0 או B = 03בניית משוואה
שבר את המכפלה לשתי משוואות
בניית משוואה
שבר את המכפלה לשתי משוואות
מה עושים
x - 2 = 0 או x - 3 = 0
למה
נפתור כל משוואה בנפרד במקום המשותף שלהן
כל אחד מהביטויים שווה לאפס
4פתרון
פתור כל משוואה
פתרון
פתור כל משוואה
מה עושים
x=2 ו- x=3
למה
קיבלנו את הערכים של x שמקיימים כל משוואה
משוואה ראשונה: x=2, משוואה שנייה: x=3
אם היינו כותבים את המשוואה בכתיבה מפורטת היינו מקבלים שני פתרונות אלה.
5בדיקה
אמת את הפתרונות במשוואה המקורית
בדיקה
אמת את הפתרונות במשוואה המקורית
מה עושים
נציב x=2 או x=3 ונראה שהשוויון מתקיים
למה
כדי לוודא שאין פתרונות שגויים
(2-2)(2-3)=0 * (-1)=0 נכון, וכן ל-x=3
6תשובה
סיכום הפתרונות
תשובה
סיכום הפתרונות
מה עושים
x=2 או x=3
למה
אלו הפתרונות המקוריים של המשוואה
המשוואה נפתרה בהצלחה באמצעות פירוק למכפלות
פתרונות כלליים
- פתור משוואה עם מכפלה לאפס: נציב כל גורם שווה לאפס ונפתור: x-2=0 כלומר x=2, או x-3=0 כלומר x=3. התשובות הן 2 ו-3.
- פתור משוואה מעריכית פשוטה: 9 שווה 3 בריבוע אז המשוואה היא 3^x = 3^2 ולכן x=2.
- פתור משוואה לוגריתמית: לפי הלוגריתם, log_7(x)=2 משמע x=7^2=49.
- פתור משוואה מעריכית עם ביטוי מורכב: הגדר y=3^x, המשוואה היא y^2 - y - 6=0. פתרון המשוואה: (y-3)(y+2)=0, לכן y=3 או y=-2. y=3^x ולכן 3^x=3 מניב x=1. y=-2 אינו פתרון אמיתי כי 3^x תמיד חיובי.
- בחינה: פתרון משוואות מכפלה לאפס: פרק את הביטוי הראשון: x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3), אז המשוואה היא (x-2)(x-3)(x-7) = 0. לפי חוק המכפלה, כל אחד מהגורמים יכול להיות 0: x=2 או x=3 או x=7.