א9. משוואות מעריכיות

תשובה סופית: (X=1, Y=3/2) או (X=3, Y=1/2)

נגדיר T = 2^X ו-K = 4^Y. אז מערכת המשוואות תהפוך ל: T + K = 10 T^2 + K^2 = 68 נבודד T: T = 10 - K נציב במשוואה השנייה: (10 - K)^2 + K^2 = 68 נפתח ונפשט: 100 - 20K + K^2 + K^2 = 68 2K^2 - 20K + 100 = 68 2K^2 - 20K + 32 = 0 K^2 - 10K + 16 = 0 נפתור את המשוואה הריבועית: (K - 8)(K - 2) = 0 לכן K=8 או K=2 אם K=8 אז T=2, ואם K=2 אז T=8 נזכור ש-K = 4^Y ו-T = 2^X לכן 4^Y = 8 2^{2Y} = 2^3 2Y = 3 Y = 3/2 ו-2^X = 2 X=1 או 4^Y=2 2^{2Y} = 2^1 2Y=1 Y=1/2 ו-2^X=8 2^X=2^3 X=3 סיכום הפתרונות: מקרה ראשון: X=1, Y=3/2 מקרה שני: X=3, Y=1/2

תשובה סופית: T שווה ל(9 ± שורש 113) חלקי 2

נפרק את המשוואה: אנו מחפשים מספרים שמכפלתם היא -8 וסכומם הוא -9. המספרים הם -1 ו-8 (לא מתאימים), נדאג להשתמש בנוסחת השורשים: T = (9 ± שורש(81 + 32)) / 2 = (9 ± שורש(113)) /2 ניתן להניח שהפתרון מתאים לתרגול ממוקד או שיש ערכים שגוונים בסיסיים. התלמיד ילמד להשתמש בנוסחה הריבועית לפתרון המשוואה.

תשובה סופית: (X=2, Y=-3) או (X=0, Y=-1/3)

נכפיל את המשוואה הראשונה ב-10 ואת השנייה ב-3: 10*3^x + 30y = 0 27^x + 30y = 3 נחסר משוואות: 10*3^x - 3*9^x = 3 נגדיר T = 3^x, אז 9^x = (3^x)^2 = T^2 נקבל: 10T - 3T^2 = 3 נחזור למשוואת ריבועית: 3T^2 - 10T + 3 = 0 נפתור משוואה ריבועית ונקבל T=9 או T=1 עבור T=9, 3^x=9 → x=2 עבור T=1, 3^x=1 → x=0 נציב במשוואה המקורית ונמצא את y לכל מקרה עבור x=2: 3^2+3y=0 → 9+3y=0 → y=-3 עבור x=0: 1+3y=0 → y=-1/3