השיעור מציג את ההגדרה של פרבולה בהנדסה אנליטית, כקבוצה של נקודות השוות למרחק מנקודה קבועה (מוקד) ומישר קבוע (יסוד). נלמד כיצד לנסח את המשוואה האנליטית של הפרבולה דרך מקום גיאומטרי של נקודות העומדות באותו מרחק מהמוקד ומהיסוד, ונראה השלבים האלגבריים לפישוט המשוואה.
להבין את משמעות הפרבולה כמקום גיאומטרי
לנסח משוואה של פרבולה מתוך הגדרת מרחק למוקד וליסוד
לבצע הפשטה אלגברית של משוואת הפרבולה
להבין את הצורה האנליטית y בריבוע שווה ל-12x בהקשר לפרבולה
הגדרת הפרבולה: הפרבולה מוגדרת כמקום גיאומטרי של נקודות השוות מרחק ממוקד נתון ומישר הנתון כיסוד הפרבולה.
כתיבת המשוואה האנליטית של הפרבולה: דרך הצבת הגדרות המרחק למוקד וליסוד, נוצרת משוואה שמכילה את כל הנקודות בפרבולה.
פישוט משוואת הפרבולה: על ידי פתיחת סוגריים וביטול איברים משותפים, מגיעים לצורה y בריבוע שווה 12x, המשמשת לתיאור הפרבולה.

תרגול קצר

מציאת משוואת פרבולה מהמוקד והיסוד

רמת קושי: קל

ממתין

מצא את המשוואה של הפרבולה שכל הנקודות בה נמצאות במרחק שווה מהמוקד\: (3,0) ומהישר \: x = -3.

פרבולהמקום גיאומטריהנדסה אנליטיתמרחקמשוואת פרבולה

רמז: השתמש בנוסחה למרחק נקודה מנקודה ומנקודה לישר, ואז השווה בין שני המרחקים.

פתרון מלא

תשובה סופית: y^2 = 12x

נסמן נקודה כללית בפרבולה כ (x,y). המרחק מהמוקד הוא sqrt((x-3)^2 + (y-0)^2). המרחק מהישר הוא |x+3|. שוויון בין שני המרחקים נותן: sqrt((x-3)^2 + y^2) = |x+3|. בריבוע שני הצדדים (x-3)^2 + y^2 = (x+3)^2. פותחים סוגריים: x^2 - 6x +9 + y^2 = x^2 + 6x +9. מפשטים: y^2 = 12x.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מציאת משוואת פרבולה מהגדרת מוקד ויסוד

הפקת משוואה אנליטית מתוך מקום גיאומטרי

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא משוואת הפרבולה במישור xy
נתון 1
מוקד הפרבולה במיקום (3,0)
נתון 2
נתון 2
יסוד הפרבולה הוא הישר x = -3
רעיון
הרעיון המרכזי
לנסח את תנאי שוויון המרחק של נקודה למוקד וליסוד, ולהפשט את המשוואה בהתאם.
נוסחה
ריבוע שני הצדדים: (x-3)^2 + y^2 = (x+3)^2, נפתח סוגריים ונקצר איברים.
(x - 3)^2 + y^2 = (x + 3)^2
משוואה
נרשום: sqrt((x-3)^2 + y^2) = |x+3|
נרשום: sqrt((x-3)^2 + y^2) = |x+3|
sqrt (x - 3) ² + y² = |x + 3|
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
תוצאה
מסיימים בתשובה
מקבלים y^2 = 12x
y² = 12x

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת נקודות ומוקד

מה עושים

נסמן נקודה כללית (x,y), מוקד בפרמטר (3,0), והיסוד הישר x=-3.

למה

כדי לבנות את הקשר נצטרך מייצג כללי של נקודה במישור.

נקודה (x,y) בהגדרות, מוקד על ציר x, וישר אנכי.

בחירת שיטה

שוויון שני מרחקים

מה עושים

להגדיר את המרחק מנקודה למוקד ומנקודה לישר ולהשוות ביניהם.

למה

הפרבולה היא מקום גיאומטרי של נקודות אלה.

המרחק בין נקודה למוקד שווה למרחקה מהישר.

בניית משוואה

ניסוח משוואת המרחקים

מה עושים

נרשום: sqrt((x-3)^2 + y^2) = |x+3|

למה

המרחק מנקודת הפרבולה למוקד ולקו היסוד שווים.

משוואת שוויון של שני מרחקים עם שורש וערך מוחלט.

נוסחה / הצבה

sqrt (x - 3) ² + y² = |x + 3|

שימוש בערך מוחלט למרחק מהישר כי המרחק תמיד חיובי.

פתרון

הרמת ריבוע ופתיחת סוגריים

מה עושים

ריבוע שני הצדדים: (x-3)^2 + y^2 = (x+3)^2, נפתח סוגריים ונקצר איברים.

למה

להסיר את השורש ואת הערך המוחלט ולפשט.

הרחבת הסוגריים: x^2 -6x +9 + y^2 = x^2 + 6x + 9, ביטול x^2 ו-9 משני הצדדים.

נוסחה / הצבה

(x - 3)^2 + y^2 = (x + 3)^2

תשובה

משוואת הפרבולה הסופית

מה עושים

מקבלים y^2 = 12x

למה

זוהי המשוואה הקנונית של הפרבולה עם ציר סימטריה ב-x חיובי.

הצורה y בריבוע שווה 12x מתארת את הפרבולה.

נוסחה / הצבה

y² = 12x

תלמידים מוזמנים לבדוק בציור גרף ב-Desmos.

פתרונות כלליים

מציאת משוואת פרבולה מהמוקד והיסוד: נסמן נקודה כללית בפרבולה כ (x,y). המרחק מהמוקד הוא sqrt((x-3)^2 + (y-0)^2). המרחק מהישר הוא |x+3|. שוויון בין שני המרחקים נותן: sqrt((x-3)^2 + y^2) = |x+3|. בריבוע שני הצדדים (x-3)^2 + y^2 = (x+3)^2. פותחים סוגריים: x^2 - 6x +9 + y^2 = x^2 + 6x +9. מפשטים: y^2 = 12x.

הפריט הקודם הפריט הבא

ז1. אנליטית הפרבולה

ניווט לפי נושאים

הנדסה אנליטית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא משוואת הפרבולה במישור xy

מוקד הפרבולה במיקום (3,0)

נתון 2

הרעיון המרכזי

ריבוע שני הצדדים: (x-3)^2 + y^2 = (x+3)^2, נפתח סוגריים ונקצר איברים.

נרשום: sqrt((x-3)^2 + y^2) = |x+3|

מפשטים

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הגדרת נקודות ומוקד

שוויון שני מרחקים

ניסוח משוואת המרחקים

הרמת ריבוע ופתיחת סוגריים

משוואת הפרבולה הסופית

פתרונות כלליים