פתרון תרגיל בהנדסה אנליטית בנושא אליפסה הכולל הצבה של נקודה על האליפסה, שימוש במשוואת האליפסה, חישוב שיפועים למצב של זווית ישרה, והסקת ערכי a ו-b בריבוע.
להבין כיצד להציב נקודה במשוואת אליפסה כדי לבדוק אם נמצאת עליה
ליישם תנאי זווית ישרה באמצעות מכפלת שיפועים
לנצל את הקשר בין הפרמטרים a, b, c של האליפסה
לפתור משוואות ריבועיות ורבועיות חלקית לצורך קבלת ערכי a ו-b בריבוע
לנסח את משוואת האליפסה במאפייניה המלאים
הצבת נקודה על האליפסה: נבדוק האם הנקודה הנתונה נמצאת על האליפסה על ידי הצבתה במשוואת האליפסה
תנאי זווית ישרה בין קטעים: зווית ישרה בין שני קטעים משתקפת במכפלת שיפועיהם השווה ל- -1
קשר בין פרמטרי האליפסה: השוויון a בריבוע פחות b בריבוע שווה ל-c בריבוע שמאפיין את המרחקים במוקדים

תרגול קצר

הצבת נקודה במשוואת אליפסה

רמת קושי: קל

ממתין

בדוק האם הנקודה (4,3) נמצאת על האליפסה שהמשוואה שלה היא x²/16 + y²/9 = 1.

הצבהאליפסהבעיה בסיסית

רמז: הציב את ערכי x=4 ו-y=3 במשוואה ובדוק אם הצדדים שווים.

פתרון מלא

תשובה סופית: הנקודה אינה על האליפסה.

נציב: 16/16 + 9/9 = 1 + 1 = 2. זה לא שווה 1, אז הנקודה אינה על האליפסה.

חישוב משוואת אליפסה באמצעות נקודה וזווית ישרה

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה אליפסה שמרכזיה בראשית. הנקודה (4,3) נמצאת על האליפסה וממנה רואים את המוקדים בזווית ישרה. נמצא את משוואת האליפסה.

אליפסהזווית ישרהפתרון מערכתבינוני

רמז: נציב את הנקודה במשוואת האליפסה ונשתמש בתנאי זווית ישרה למכפלת השיפועים וגם בקשר a²-b²=c² כדי למצוא a ו-b.

פתרון מלא

תשובה סופית: משוואת האליפסה: x²/40 + y²/15 = 1

על פי הניתוח: הצבת הנקודה נותנת משוואה ראשונה, תנאי הזווית הישרה בין קטעים המוקדים מצביע על משוואה שנייה עם מכפלת שיפועים -1, וקשר בין הפרמטרים a,b,c. נפתור את המערכת ונקבל b²=15, a²=40.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל אליפסה עם נקודה וזווית ישרה

כיצד למצוא משוואת אליפסה במצב נתון

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא משוואת האליפסה המלאה עם ערכי a ו-b
נתון 1
נקודה (4,3) הנמצאת על האליפסה
נתון 2
רואים מהנקודה את הקטע בין המוקדים בזווית ישרה
נתון 3
נתון 3
השוויון a²-b²=c² בין פרמטרי האליפסה
רעיון
הרעיון המרכזי
נציב את הנקודה במשוואת האליפסה ונשתמש בתנאי זווית ישרה למכפלת שיפועים יחד עם הקשר בין a,b ו-c
נוסחה
נציב את ערכי x=4 ו-y=3 במשוואת האליפסה x²/a² + y²/b² = 1
16 / a^2 + 9 / b^2 = 116/a² + 9/b² = 1(16)/(a^2) + (9)/(b^2) = 1
משוואה
נציב ב־ a² - b² = c² את הערכים ונשתמש ב־ c² שחושב
נציב ב־ a² - b² = c² את הערכים ונשתמש ב־ c² שחושב
a^2 - b^2 = c^2a^(2) - b^(2) = c^(2)
פישוט
נפתור את שתי המשוואות ונקבל b² = 15 ו-a² = 40
נפתור את שתי המשוואות ונקבל b² = 15 ו-a² = 40

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הצבת נקודה במשוואה

מה עושים

נציב את ערכי x=4 ו-y=3 במשוואת האליפסה x²/a² + y²/b² = 1

למה

כדי לוודא שהנקודה אכן על האליפסה ולקבל משוואה בין a ו-b

הצבה מובילה למשוואה: 16/a² + 9/b² = 1

נוסחה / הצבה

16 / a^2 + 9 / b^2 = 116/a² + 9/b² = 1(16)/(a^2) + (9)/(b^2) = 1

לשים לב לא להשמיט את הריבועים בבחינה של ערכי x ו-y

בחירת שיטה

יישום תנאי זווית ישרה

מה עושים

נחשב מכפלת שיפועי הקטעים בין נקודת התצפית למוקדים ונציב מכפלה שווה ל- -1

למה

תנאי זווית ישרה בין שני וקטורים מכתיב להיות מכפלת השיפועים שלילית אחד

לפי חישוב, מתקבל קשר בין c ו-b

תזכור ששיפוע ישירות בין נקודות הוא שינוי y חלקי שינוי x

בניית משוואה

קשר בין הפרמטרים a, b, c

מה עושים

נציב ב־ a² - b² = c² את הערכים ונשתמש ב־ c² שחושב

למה

קשר זה מאפשר לחבר בין הפרמטרים ולקבל מערכת משוואות

הקשר החוגי בין צירי האליפסה והמוקדים

נוסחה / הצבה

a^2 - b^2 = c^2a^(2) - b^(2) = c^(2)

אין לשכוח את המשוואה הזו כמעין 'כלל זהב'

פתרון

פתרון מערכת המשוואות

מה עושים

נפתור את שתי המשוואות ונקבל b² = 15 ו-a² = 40

למה

כדי למצוא את הערכים המדויקים בפתרון

המשוואה הראשונית יחד עם תנאי הזווית הישרה מתחברים לפתרון יחיד

לתקן שגיאות חישוב עם בדיקה חוזרת

תשובה

כתיבת משוואת האליפסה הסופית

מה עושים

ננסח את משוואת האליפסה: x²/40 + y²/15 = 1

למה

סיום הפתרון עם המשוואה המלאה

משוואת האליפסה שנמצאה מתאימה לנתונים

נוסחה / הצבה

x^2 / 40 + y^2 / 15 = 1x^2/40 + y^2/15 = 1(x^(2))/(40) + (y^(2))/(15) = 1

לשים לב לכתיבה נכונה של המנה במשתנה

פתרונות כלליים

הצבת נקודה במשוואת אליפסה: נציב: 16/16 + 9/9 = 1 + 1 = 2. זה לא שווה 1, אז הנקודה אינה על האליפסה.
חישוב משוואת אליפסה באמצעות נקודה וזווית ישרה: על פי הניתוח: הצבת הנקודה נותנת משוואה ראשונה, תנאי הזווית הישרה בין קטעים המוקדים מצביע על משוואה שנייה עם מכפלת שיפועים -1, וקשר בין הפרמטרים a,b,c. נפתור את המערכת ונקבל b²=15, a²=40.

הפריט הקודם הפריט הבא

ו12. אנליטית האליפסה פתרון תרגיל

ניווט לפי נושאים

הנדסה אנליטית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא משוואת האליפסה המלאה עם ערכי a ו-b

נקודה (4,3) הנמצאת על האליפסה

רואים מהנקודה את הקטע בין המוקדים בזווית ישרה

נתון 3

הרעיון המרכזי

נציב את ערכי x=4 ו-y=3 במשוואת האליפסה x²/a² + y²/b² = 1

נציב ב־ a² - b² = c² את הערכים ונשתמש ב־ c² שחושב

נפתור את שתי המשוואות ונקבל b² = 15 ו-a² = 40

פתרון מפורט

הצבת נקודה במשוואה

יישום תנאי זווית ישרה

קשר בין הפרמטרים a, b, c

פתרון מערכת המשוואות

כתיבת משוואת האליפסה הסופית

פתרונות כלליים