מציאת נקודת האמצע בין שתי נקודות
רמת קושי: קל
נתונות הנקודות A(-1,-4) ו-B(2,5). מצא את נקודת האמצע ביניהן.
אמצע קטעהנדסה אנליטיתנקודות
רמז: השתמש בנוסחת נקודת האמצע: ממוצע הקואורדינטות של X ושל Y.
פתרון מלא
תשובה סופית: (0.5, 0.5)
נחשב את x האמצעי: (-1 + 2) / 2 = 1/2 = 0.5
נחשב את y האמצעי: (-4 + 5) / 2 = 1/2 = 0.5
נקודת האמצע היא (0.5,0.5).
מציאת נקודה כאשר נקודת האמצע ידועה
רמת קושי: בינוני
יש נקודה A(-3,2) ונקודה B לא ידועה. ידוע שנקודת האמצע בין A ל-B היא (4,-3). מצא את נקודת B.
אמצע קטעמשוואותהנדסה אנליטית
רמז: השתמש במשוואת נקודת האמצע כדי למצוא את B: x2= 2x_mid - x1, y2= 2y_mid - y1.
פתרון מלא
תשובה סופית: (11, -8)
x2 = 2 * 4 - (-3) = 8 + 3 = 11
y2 = 2 * (-3) - 2 = -6 - 2 = -8
נקודת B היא (11, -8).
אימות משפט קטע האמצעים במשולש
רמת קושי: מאתגר
יש נקודות A(1,9), B(-2,2), C(7,-7). חשב את נקודות האמצע M ו-N של הצלעות AB ו-AC. הראה שקטע MN מקביל לצלע BC והוכח שאורכו מחצית מאורך BC.
משפט קטע אמצעיםהנדסה אנליטיתמשולששיפוע
רמז: חשב את נקודות האמצע לפי נוסחה, בדוק את השיפועים של MN ו-BC, וכן חשב את אורכי הקטעים.
פתרון מלא
תשובה סופית: קטע MN מקביל לצלע BC ואורכו מחצית מאורך BC, משפט קטע האמצעים אומת.
נקודת האמצע M של AB היא: ((1-2)/2, (9+2)/2) = (-0.5, 5.5)
נקודת האמצע N של AC היא: ((1+7)/2, (9-7)/2) = (4, 1)
שיפוע MN = (1 - 5.5) / (4 - (-0.5)) = (-4.5) / (4.5) = -1
שיפוע BC = (-7 - 2) / (7 - (-2)) = (-9) / (9) = -1
השיפועים שווים, לכן MN מקביל ל-BC.
אורך MN = sqrt((4 + 0.5)^2 + (1 - 5.5)^2) = sqrt(4.5^2 + (-4.5)^2) = sqrt(20.25 + 20.25) = sqrt(40.5) ≈ 6.364
אורך BC = sqrt((7 + 2)^2 + (-7 - 2)^2) = sqrt(9^2 + (-9)^2) = sqrt(81 + 81) = sqrt(162) ≈ 12.728
MN הוא בדיוק חצי מאורך BC, מ-6.364 כפול 2 = 12.728.