שיעור בהנדסה אנליטית בו נלמד כיצד להשתמש בטריגונומטריה לפתרון תרגיל על משולשים במישור הקואורדינטות, כולל חישוב אורכים, זוויות ושטחים באמצעות נוסחת הקוסינוסים והיחס לסינוס הזווית.
להבין כיצד לחשב אורך צלע במישור הקואורדינטות.
לזהות תכונות של משולש (שווה שוקיים, גובה ועצרת באמצע).
לחשב זווית באמצעות נוסחת הקוסינוסים.
לחשב שטח משולש באמצעות טריגונומטריה (הסינוס).
לשלב בין הנדסה אנליטית לטריגונומטריה לפתרון תרגילים.
חישוב אורכי צלעות: חישוב מרחק בין נקודות באמצעות נוסחת המרחק במישור הקואורדינטות והסקת מסקנות לגבי סוג המשולש.
זיהוי משולש שווה שוקיים ובדיקת אמצע צלע: זיהוי שהמשולש שווה שוקיים ושרטוט הבדיקה אם הגובה הוא גם חוצה באמצע הצלע.
חישוב זווית באמצעות משפט הקוסינוסים: הסבר חישוב הזווית שבין שתי צלעות במשולש על ידי משפט הקוסינוסים.
חישוב שטח משולש באמצעות טריגונומטריה: ניצול משפט שטח משולש עם סינוס הזווית כדי לחשב שטח המשולש בצורה נוחה.

תרגול קצר

חישוב אורך צלע במשולש

רמת קושי: קל

ממתין

נתונות נקודות A(-5,4) ו-B(-2,7). חשב את אורך הצלע AB.

הנדסה אנליטיתמרחקבסיס

רמז: השתמש בנוסחת המרחק בין שתי נקודות במישור: שורש מהפרש ריבועי של x ו-y.

פתרון מלא

תשובה סופית: 3 שורש 2

הפרש ב-x = -2 – (-5) = 3 ; ריבוע = 9 הפרש ב-y = 7 – 4 = 3 ; ריבוע = 9 אורך AB = שורש (9+9) = שורש 18 = 3 שורש 2

חישוב זווית במשולש בעזרת משפט הקוסינוסים

רמת קושי: בינוני

ממתין

משולש ABC שבו AB = AC = שורש 90 והצלע BC = 6. חשב את הזווית אלפא שבין AB ל-AC.

משפט הקוסינוסיםזוויותטריגונומטריההנדסה אנליטית

רמז: השתמש במשפט הקוסינוסים: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(γ)

פתרון מלא

תשובה סופית: 36.87 מעלות

c = 6, a = b = שורש 90 6^2 = 90 + 90 - 2 * שורש 90 * שורש 90 * cos(α) 36 = 180 - 180 * cos(α) 180 * cos(α) = 180 - 36 = 144 cos(α) = 144 / 180 = 0.8 α = מיעודיינ cos 0.8 ≈ 36.87 מעלות

חישוב שטח משולש בעזרת טריגונומטריה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתון משולש שווה שוקיים עם צלעות שוות לשורש 90 וזווית בין השוקיים α ≈ 36.87°. חשב את שטח המשולש.

שטחטריגונומטריהמשולש שווה שוקיים

רמז: השתמש בנוסחה: שטח = חצי * a * b * sin(α)

פתרון מלא

תשובה סופית: כ-27 יחידות שטח

שטח = חצי * שורש 90 * שורש 90 * sin(36.87°) = 0.5 * 90 * 0.6 ≈ 27

פתרון משולש הנדסי משולב

רמת קושי: בגרות

ממתין

במשולש ABC נתונים: AB = AC = שורש 90, BC = 6, הזווית בין AB ל-AC אינה ידועה. חשב את הזווית α ואת שטח המשולש.

משפט הקוסינוסיםשטחטריגונומטריההנדסה אנליטית

רמז: 1. חשב את הזווית בעזרת משפט הקוסינוסים. 2. חשב את השטח עם נוסחת הסינוס.

פתרון מלא

תשובה סופית: α ≈ 36.87°, שטח ≈ 27 יחידות

1. 6^2 = 90 + 90 - 2* שורש 90 * שורש 90 * cos(α) 36 = 180 - 180 cos(α) cos(α) = (180 - 36)/180 = 0.8 α ≈ 36.87° 2. שטח = חצי * שורש 90 * שורש 90 * sin(36.87) = 0.5 * 90 * 0.6 ≈ 27

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל חישוב שטח משולש בהנדסה אנליטית

שימוש בטריגונומטריה לחישוב שטח משולש במישור הקואורדינטות

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא שטח המשולש
נתון 1
נתון 1
אורך צלע AB = שורש 90
נתון 2
נתון 2
אורך צלע AC = שורש 90
נתון 3
זווית בין AB ל-AC: α ≈ 36.87°
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את השטח בעזרת הנוסחה חצי כפול אורך שתי צלעות כפול סינוס הזווית ביניהן.
נוסחה
נציב a = שורש 90, b = שורש 90, ו-α ≈ 36.87° בנוסחה
שטח = 0.5 * 9.486 * 9.486 * 0.6שטח = חצי * 9.486 * 9.486 * 0.6
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
נחשב את המכפלה ונקבל את השטח
נחשב את המכפלה ונקבל את השטח

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

אורך הצלעות וזווית ידועים

מה עושים

ידוע שהצלעות שוות לשורש 90 והזווית היא α

למה

נתונים אלו מאפשרים שימוש בנוסחת שטח משולש עם סינוס הזווית

הצלעות AB ו-AC הן שורש 90 והזווית ביניהם מזוהה כ-36.87 מעלות.

בחירת שיטה

יישום נוסחת שטח משולש

מה עושים

נשתמש בנוסחה חצי * a * b * sin(α)

למה

זוהי הדרך לחשב שטח משולש כאשר ידועות שתי צלעות והזווית ביניהן

נוסחה זו מנצלת את הטריגונומטריה לחישוב השטח מבלי לחשב גבהים.

נוסחה / הצבה

שטח = חציכפול אכפול בכפול סינוס αשטח = חצי * a * b * sin(α)

זכור להשתמש במעלות בסינוס או להמיר לרדיאנים בהתאם למחשב שלך.

פתרון

הכנסת הערכים

מה עושים

נציב a = שורש 90, b = שורש 90, ו-α ≈ 36.87° בנוסחה

למה

כדי לקבל את החישוב המספרי המדויק של השטח

שורש 90 בערך שווה ל-9.486, וסינוס של 36.87 מעלות כ-0.6

נוסחה / הצבה

שטח = 0.5 * 9.486 * 9.486 * 0.6שטח = חצי * 9.486 * 9.486 * 0.6

אל תשכח לחשב את השורש בצורה מדויקת למענה קרוב.

פתרון

חישוב התוצאה

מה עושים

נחשב את המכפלה ונקבל את השטח

למה

זו השלב הסופי לקבלת התוצאה המבוקשת

0.5 * 90 * 0.6 = כ-27 יחידות שטח

בצע חישוב קבועים בסדר נכון למניעת שגיאות.

תשובה

תוצאה סופית

מה עושים

שטח המשולש הוא כ-27 יחידות שטח

למה

מסכמים את תוצאת החישוב

פתרונות כלליים

חישוב אורך צלע במשולש: הפרש ב-x = -2 – (-5) = 3 ; ריבוע = 9 הפרש ב-y = 7 – 4 = 3 ; ריבוע = 9 אורך AB = שורש (9+9) = שורש 18 = 3 שורש 2
חישוב זווית במשולש בעזרת משפט הקוסינוסים: c = 6, a = b = שורש 90 6^2 = 90 + 90 - 2 * שורש 90 * שורש 90 * cos(α) 36 = 180 - 180 * cos(α) 180 * cos(α) = 180 - 36 = 144 cos(α) = 144 / 180 = 0.8 α = מיעודיינ cos 0.8 ≈ 36.87 מעלות
חישוב שטח משולש בעזרת טריגונומטריה: שטח = חצי * שורש 90 * שורש 90 * sin(36.87°) = 0.5 * 90 * 0.6 ≈ 27
פתרון משולש הנדסי משולב: 1. 6^2 = 90 + 90 - 2* שורש 90 * שורש 90 * cos(α) 36 = 180 - 180 cos(α) cos(α) = (180 - 36)/180 = 0.8 α ≈ 36.87° 2. שטח = חצי * שורש 90 * שורש 90 * sin(36.87) = 0.5 * 90 * 0.6 ≈ 27

הפריט הקודם הפריט הבא

ג3. פתרון תרגיל בהנדסה אנליטית

ניווט לפי נושאים

הנדסה אנליטית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא שטח המשולש

נתון 1

נתון 2

זווית בין AB ל-AC: α ≈ 36.87°

הרעיון המרכזי

נציב a = שורש 90, b = שורש 90, ו-α ≈ 36.87° בנוסחה

נבנה משוואה

נחשב את המכפלה ונקבל את השטח

פתרון מפורט

אורך הצלעות וזווית ידועים

יישום נוסחת שטח משולש

הכנסת הערכים

חישוב התוצאה

תוצאה סופית

פתרונות כלליים