MMATH
התחברות

וידאו · סדרות

ב15. סדרה הנדסית מתכנסת

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
38 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ב11. סדרה הנדסית סכום סדרה פתרון תרגיל

וידאו

ב12. סדרה הנדסית סכום סדרה פתרון תרגיל

וידאו

ב13. סדרה הנדסית סכום סדרה פתרון תרגיל הוכחת סדרה הנדסית בעזרת סכום

וידאו

ב14. סדרה הנדסית סכום סדרה פתרון תרגיל

וידאו

ב15. סדרה הנדסית מתכנסת

וידאו

ב16. סדרה הנדסית מתכנסת פתרון תרגיל

וידאו

ב17. סדרה הנדסית מתכנסת פתרון תרגיל

וידאו

ב18. סדרה הנדסית מתכנסת פתרון תרגיל

וידאו

ב19. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב20. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב21. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב22. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב23. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב24. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בסדרות הנדסיות מתכנסות, מגדיר מהי סדרה מתכנסת, מציג דוגמה מספרית, ופירוט נוסחת סכום הסדרה כאשר המנה בין -1 ל-1.
  • להבין מהי סדרה הנדסית מתכנסת
  • לזהות את תנאי ההתכנסות של סדרה הנדסית
  • לחשב סכום של מספר מוגדר של איברים בסדרה הנדסית
  • להשתמש בנוסחה לחישוב סכום סכום האיברים עד אין סוף בסדרה הנדסית מתכנסת
  • הגדרת סדרה הנדסית מתכנסת: הסבר על סדרה הנדסית שבה המנה בין אחד למינוס אחד וסכום האיברים מתקרב לערך מספרי קבוע.
  • דוגמה מספרית: ניתנה סדרה עם איברים ראשונים: 40, 20, 10, 5, 2.5, 1.25… המנה Q היא חצי והסכום מתקרב ל-80.
  • נוסחאות לחישוב סכום סדרה הנדסית: הצגת נוסחת סכום n האיברים הראשונים ונוסחת סכום עד אין סוף כאשר הסדרה מתכנסת.

תרגול קצר

חישוב סכום 5 האיברים הראשונים

רמת קושי: קל

ממתין

ביחידת לימוד על סדרה הנדסית עם a_1=40, Q=0.5, חשב את סכום 5 האיברים הראשונים של הסדרה.

סדרה הנדסיתסכום חלקי של סדרהתרגילים בסיסיים

רמז: השתמש בנוסחה S_n = a_1 * (1 - Q^n) / (1 - Q) והציב את הערכים המתאימים.

פתרון מלא

תשובה סופית: 77.5

הנוסחה היא S_5 = 40 * (1 - 0.5^5) / (1 - 0.5). נחשב 0.5^5 = 0.03125. אז הסכום הוא 40 * (1 - 0.03125) / 0.5 = 40 * 0.96875 / 0.5 = 40 * 1.9375 = 77.5.

חישוב סכום עד אין סוף בסדרה הנדסית

רמת קושי: בינוני

ממתין

בהינתן סדרה הנדסית עם האיבר הראשון a_1=40 והמנה Q=0.5, חשב את סכום האיברים כאשר מספר האיברים שואף לאינסוף.

סדרה הנדסיתסכום אינסופיתרגילים בינוניים

רמז: מכיוון שה-Q בין -1 ל-1, השתמש בנוסחה S_∞ = a_1 / (1 - Q).

פתרון מלא

תשובה סופית: 80

נציב בנוסחה: S_∞ = 40 / (1 - 0.5) = 40 / 0.5 = 80.

הוכחת התכנסות הסדרה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הסבר למה סדרה הנדסית עם a_1 = 40 ו-Q = 0.5 מתכנסת ומהו הערך שאליו היא מתכנסת.

סדרה הנדסיתהתכנסותהוכחות

רמז: הסבר מתמטי המתבסס על תחום הערכים של Q והביטוי של סכום אינסופי.

פתרון מלא

תשובה סופית: הסדרה מתכנסת ל-80

בגלל ש-Q = 0.5 הוא בתחום -1 < Q < 1, הסדרה מתכנסת לערך סופי. הערך אליו היא מתכנסת הוא S_∞ = a_1 / (1 - Q) = 40 / (1 - 0.5) = 80.

חישוב סכום 10 איברים בסדרה הנדסית

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה סדרה הנדסית שבה a_1=40, Q=0.5. חשב את סכום 10 האיברים הראשונים.

סדרה הנדסיתתרגילים לא שגרתייםתרגילי בגרות

רמז: השתמש בנוסחה לסכום n איברים, חשוב לבצע חישוב מדויק של החזקה.

פתרון מלא

תשובה סופית: 79.9219 (בערך)

נחשב 0.5^10 = 0.0009765625. נחשב את הסכום לפי: S_10 = 40 * (1 - 0.0009765625) / (1 - 0.5) = 40 * 0.9990234375 / 0.5 = 40 * 1.998046875 = 79.921875.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מדריך לפתרון – חישוב סכום אינסופי בסדרה הנדסית מתכנסת

דוגמה עם a1 = 40 ו-Q = 0.5 לסדרה הנדסית מתכנסת

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא סכום הסדרה האינסופי, כלומר הסכום כשמספר האיברים שואף לאינסוף

  2. נתון 1

    נתון 1

    a_1 = 40 (האיבר הראשון)
  3. נתון 2

    נתון 2

    Q = 0.5 (המנה) בין -1 ל-1
  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    להשתמש בנוסחת סכום אינסופי לסדרה הנדסית מתכנסת כדי לחשב את הערך שאליו הסכום שואף.

  5. נוסחה

    כתוב את הנוסחה S∞ = a_1 / (1 - Q).

    S_inf = a1 / (1 - Q)S∞ = a_1 / (1 - Q)S_ = (a_1)/(1 - Q)
  6. משוואה

    נציב a_1=40 ו-Q=0.5 בנוסחה: S∞ = 40 / (1 - 0.5).

    נציב a_1=40 ו-Q=0.5 בנוסחה: S∞ = 40 / (1 - 0.5).

  7. פישוט

    מפשטים

    מפשטים כדי להגיע לנעלם.

  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    סכום הסדרה המתכנסת הוא 80.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתונים ראשוניים

מה עושים

זיהוי האיבר הראשון והמנה מהנתונים.

למה

הם הכרחיים לחישוב הסכום.

ניתן a_1=40 ו-Q=0.5.

זכור שהמנה חייבת להיות בין -1 ל-1 לסדרה מתכנסת.

2

בחירת שיטה

הבנת תנאי ההתכנסות

מה עושים

לאמת ש-Q נמצא בטווח המתאים (-1<Q<1).

למה

רק אז אפשר להשתמש בנוסחת הסכום האינסופי.

Q=0.5 והוא בטווח המבוקש.

אראה לך למה זה חשוב.

3

בניית משוואה

רישום נוסחת סכום אינסופי

מה עושים

כתוב את הנוסחה S∞ = a_1 / (1 - Q).

למה

זו הנוסחה לחישוב סכום אינסופי בסדרה מתכנסת.

נוסחה / הצבה

S_inf = a1 / (1 - Q)S∞ = a_1 / (1 - Q)S_ = (a_1)/(1 - Q)
4

פתרון

הצבת ערכים וסיכום החישוב

מה עושים

נציב a_1=40 ו-Q=0.5 בנוסחה: S∞ = 40 / (1 - 0.5).

למה

אותו על מנת לקבל את הסכום המתכנס.

חשב את המכנה 1 - 0.5 = 0.5 ואז חשב 40 / 0.5.

חשוב לבצע דיוק בחישוב כדי לקבל תוצאה נכונה.

5

תשובה

תוצאה

מה עושים

סכום הסדרה המתכנסת הוא 80.

למה

הערך הזה הוא הגבול אליו הסכומים מגיעים ככל שמוסיפים איברים רבים.

אפשר לומר שהסכום שואף ל-80.

פתרונות כלליים

  • חישוב סכום 5 האיברים הראשונים: הנוסחה היא S_5 = 40 * (1 - 0.5^5) / (1 - 0.5). נחשב 0.5^5 = 0.03125. אז הסכום הוא 40 * (1 - 0.03125) / 0.5 = 40 * 0.96875 / 0.5 = 40 * 1.9375 = 77.5.
  • חישוב סכום עד אין סוף בסדרה הנדסית: נציב בנוסחה: S_∞ = 40 / (1 - 0.5) = 40 / 0.5 = 80.
  • הוכחת התכנסות הסדרה: בגלל ש-Q = 0.5 הוא בתחום -1 < Q < 1, הסדרה מתכנסת לערך סופי. הערך אליו היא מתכנסת הוא S_∞ = a_1 / (1 - Q) = 40 / (1 - 0.5) = 80.
  • חישוב סכום 10 איברים בסדרה הנדסית: נחשב 0.5^10 = 0.0009765625. נחשב את הסכום לפי: S_10 = 40 * (1 - 0.0009765625) / (1 - 0.5) = 40 * 0.9990234375 / 0.5 = 40 * 1.998046875 = 79.921875.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.