השיעור מתמקד בפתרון תרגיל בסדרה הנדסית אינסופית יורדת בעזרת יצירת משוואות לסכום איברים מסוימים ומציאת המנה והמונח הראשון, כולל חישוב סכום האיברים האינסופי.
להבין תכונות של סדרה הנדסית יורדת
לנסח משוואות מתוך נתונים של סכומי איברים בסדרה
לזהות ולהשתמש במנה של סדרה הנדסית אינסופית
לחשב את סכום האינסוף של סדרה הנדסית מתכנסת
הגדרת הסדרה: הגדרנו סדרה הנדסית אינסופית יורדת, כאשר המונחים נתונים על פי המנה והאיבר הראשון.
ניתוח הנתונים: נתונים סכום האיברים הראשון והשלישי ושני והרביעי, ומשתמשים בהם ליצירת משוואות.
פתירת המשוואות: ביצענו חילוק גורמים משותפים ופתורנו משוואות לצורך מציאת q והאיבר הראשון a1.
חישוב סכום האינסוף: חישבנו את סכום כל הסדרה האינסופית המתכנסת בעזרת הנוסחה המתאימה.

תרגול קצר

חישוב q והאיבר הראשון בסדרה הנדסית

רמת קושי: קל

ממתין

בסדרה הנדסית אינסופית יורדת סכום האיברים הראשון והשלישי הוא 78, וסכום האיברים השני והרביעי הוא 52. מצא את המנה q ואת האיבר הראשון a1.

סדרה הנדסיתחישוב qאיבר ראשון

רמז: נסח משוואות עבור סכום האיברים הנתונים, הוצא גורם משותף כדי לפשט וחסר את q ו-a1, השתמש בתנאי שהסדרה יורדת כדי להגביל את q.

פתרון מלא

תשובה סופית: q = 0.75, a1 = 49.92

נסמן a1 כאיבר ראשון ו-q כמנה. נكتب משוואות: 1) a1 + a1*q^2 = 78 2) a1*q + a1*q^3 = 52 מהמשוואה הראשונה נוכל להוציא a1 (1 + q^2) = 78 מהשנייה a1*q (1 + q^2) = 52 לכן, נחלק משוואה שנייה בשנייה ונקבל q = 52/78 = 3/4 = 0.75. נציב q=0.75 במשוואה הראשונה כדי למצוא a1: a1 (1 + 0.75^2) = 78 => a1 (1 + 0.5625) = 78 => a1 * 1.5625 = 78 a1 = 78 / 1.5625 = 49.92

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל סדרה הנדסית אינסופית יורדת

מציאת המנה q והאיבר הראשון a1

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא המנה q / האיבר הראשון a1
נתון 1
סכום האיבר הראשון והשלישי: 78
נתון 2
סכום האיבר השני והרביעי: 52
נתון 3
הסדרה היא הנדסית אינסופית יורדת
רעיון
הרעיון המרכזי
נסמן את האיברים בהתאם וניצור משוואות מבוססות על הנתונים כדי למצוא q ו-a1.
נוסחה
הבע את האיברים בנוסחה כללית והצב את הסכומים
a1 + a1*q^2 = 78a1*q + a1*q^3 = 52
משוואה
חלק כל משוואה ב-a1 וכתב מחדש
חלק כל משוואה ב-a1 וכתב מחדש
1 + q^2 = 78/a1q (1 + q^2) = 52/a1
פישוט
חלק משוואות בין עצמן ובתוך תנאי שהסדרה יורדת
חלק משוואות בין עצמן ובתוך תנאי שהסדרה יורדת
q=52/78=0.75

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

קבע את הנתונים

מה עושים

רשום את סכומי האיברים הנתונים

למה

הנתונים הם בסיס ליצירת המשוואות

סכום a1 ו-a3 = 78, סכום a2 ו-a4 = 52

בניית משוואה

נסח משוואות באמצעות איברים

מה עושים

הבע את האיברים בנוסחה כללית והצב את הסכומים

למה

כך נקבל משוואות עם המשתנים הנדרשים

a1 + a1*q^2 = 78 a1*q + a1*q^3 = 52

נוסחה / הצבה

a1 + a1*q^2 = 78a1*q + a1*q^3 = 52

פתרון

הוצא גורם משותף וחשב

מה עושים

חלק כל משוואה ב-a1 וכתב מחדש

למה

פישוט עוזר למצוא q בקלות

1 + q^2 = 78/a1 q (1 + q^2) = 52/a1

נוסחה / הצבה

1 + q^2 = 78/a1q (1 + q^2) = 52/a1

הוצא גורם משותף כדי להפשט את המשוואות

פתרון

מצא את q

מה עושים

חלק משוואות בין עצמן ובתוך תנאי שהסדרה יורדת

למה

מאפשר לקבל ערך מדויק של q

(q (1 + q^2))/(1 + q^2) = 52/78 q = 52/78 = 0.75

נוסחה / הצבה

q=52/78=0.75

q חייב להיות בין 0 ל-1 כי הסדרה יורדת

פתרון

חשב את a1

מה עושים

הציב את q במשוואה ופתור עבור a1

למה

כדי להשלים את הנתונים של הסדרה

a1*(1+q^2) = 78 => a1*1.5625=78 => a1=49.92

נוסחה / הצבה

a1 * (1 + 0.75^2) = 78a1 * 1.5625 = 78a1 = 78 / 1.5625 = 49.92

פתרונות כלליים

חישוב q והאיבר הראשון בסדרה הנדסית: נסמן a1 כאיבר ראשון ו-q כמנה. נكتب משוואות: 1) a1 + a1*q^2 = 78 2) a1*q + a1*q^3 = 52 מהמשוואה הראשונה נוכל להוציא a1 (1 + q^2) = 78 מהשנייה a1*q (1 + q^2) = 52 לכן, נחלק משוואה שנייה בשנייה ונקבל q = 52/78 = 3/4 = 0.75. נציב q=0.75 במשוואה הראשונה כדי למצוא a1: a1 (1 + 0.75^2) = 78 => a1 (1 + 0.5625) = 78 => a1 * 1.5625 = 78 a1 = 78 / 1.5625 = 49.92

הפריט הקודם הפריט הבא

ב17. סדרה הנדסית מתכנסת פתרון תרגיל

ניווט לפי נושאים

סדרות

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא המנה q / האיבר הראשון a1

סכום האיבר הראשון והשלישי: 78

סכום האיבר השני והרביעי: 52

הסדרה היא הנדסית אינסופית יורדת

הרעיון המרכזי

הבע את האיברים בנוסחה כללית והצב את הסכומים

חלק כל משוואה ב-a1 וכתב מחדש

חלק משוואות בין עצמן ובתוך תנאי שהסדרה יורדת

פתרון מפורט

קבע את הנתונים

נסח משוואות באמצעות איברים

הוצא גורם משותף וחשב

מצא את q

חשב את a1

פתרונות כלליים