בשיעור זה נלמד כיצד לפתור בעיה בסדרה הנדסית מתכנסת באמצעות כתיבת טור והצבת משוואות למציאת מכפיל ההתחלתי Q.
להבין כיצד להגדיר טור הנדסי מתכנס
לכתוב משוואה המייצגת יחס בין סכומי טורים שונים
לפתור משוואה למציאת הפרמטר Q בסדרה הנדסית
הגדרת הבעיה: תיאור הבעיה שבה סכום טור הנדסי יורד הוא שמונה פעמים סכום האיברים החל מהאיבר הרביעי.
בניית המשוואה: כתיבת המשוואה המייצגת את יחס הסכומים בין שני הטורים לפי הנתונים.
פתרון המשוואה: פישוט המשוואה והסקת המספר Q באמצעות פישוט האנליטי של הביטויים.

תרגול קצר

מציאת המנה Q בסדרה הנדסית מתכנסת

רמת קושי: קל

ממתין

נתון שסכום טור הנדסי מתכנס שווה סכום טור נספר החל מהאיבר הרביעי כפול 8. האיבר הראשון והמנה הלא ידועים. מצא את המנה Q.

סדרה הנדסיתמנהפתרון משוואה

רמז: כתוב את סכום הטור מהאיבר הראשון וסכום הטור החל מהאיבר הרביעי, והצב יחס ביניהם.

פתרון מלא

תשובה סופית: Q = 1/2

נסמן את האיבר הראשון ב-A1 ואת המנה ב-Q. סכום הטור מלכתחילה הוא A1 חלקי (1- Q). סכום הטור החל מהאיבר הרביעי הוא A1 כפול Q בשלישית חלקי (1- Q). לפי הנתון: A1 חלקי (1- Q) = 8 כפול (A1 כפול Q בשלישית חלקי (1- Q)). מצמצמים את A1 וחלקי (1- Q) ומקבלים 1 = 8 Q בשלישית. לכן Q בשלישית = 1/8, ו-Q= 1/2.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל: מציאת המנה Q בסדרה הנדסית מתכנסת

יחס סכומי טורים הנדסיים ופתרון המשוואה

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא מכפיל הטור Q
נתון 1
סכום הטור מלכתחילה: A1 חלקי (1- Q)
נתון 2
סכום הטור החל מהאיבר הרביעי: A1 כפול Q בשלישית חלקי (1- Q)
נתון 3
היחס בין שני הסכומים הוא 8: הסכום הראשון שווה 8 פעמים הסכום השני
רעיון
הרעיון המרכזי
לכתוב משוואה בין שני סכומי הטורים ולהסיק את ערך Q באמצעות פישוט המשוואה.
נוסחה
נסמן את האיבר הראשון ב-A1 ואת המנה ב-Q.
S = A1 / (1 - Q)S = (A_1)/(1 - Q)
משוואה
נבטל את A1 וחלקי (1-Q) משני הצדדים כדי לפשט את המשוואה.
נבטל את A1 וחלקי (1-Q) משני הצדדים כדי לפשט את המשוואה.
1 = 8 * Q^31 = 8 Q^31 = 8 Q^(3)
פישוט
נמצא את השורש השלישי של 1/8.
נמצא את השורש השלישי של 1/8.
Q = 1 / 2Q = 1/2

Q = 1 / 2Q = 1/2Q = (1)/(2)

ופתרון הושלם בהצלחה.

פתרונות כלליים

מציאת המנה Q בסדרה הנדסית מתכנסת: נסמן את האיבר הראשון ב-A1 ואת המנה ב-Q. סכום הטור מלכתחילה הוא A1 חלקי (1- Q). סכום הטור החל מהאיבר הרביעי הוא A1 כפול Q בשלישית חלקי (1- Q). לפי הנתון: A1 חלקי (1- Q) = 8 כפול (A1 כפול Q בשלישית חלקי (1- Q)). מצמצמים את A1 וחלקי (1- Q) ומקבלים 1 = 8 Q בשלישית. לכן Q בשלישית = 1/8, ו-Q= 1/2.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב18. סדרה הנדסית מתכנסת פתרון תרגיל

ניווט לפי נושאים

סדרות

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא מכפיל הטור Q

סכום הטור מלכתחילה: A1 חלקי (1- Q)

סכום הטור החל מהאיבר הרביעי: A1 כפול Q בשלישית חלקי (1- Q)

היחס בין שני הסכומים הוא 8: הסכום הראשון שווה 8 פעמים הסכום השני

הרעיון המרכזי

נסמן את האיבר הראשון ב-A1 ואת המנה ב-Q.

נבטל את A1 וחלקי (1-Q) משני הצדדים כדי לפשט את המשוואה.

נמצא את השורש השלישי של 1/8.

פתרון מפורט

נתוני הבעיה

רישום משוואת היחס

צמצום איברים

חישוב ערך Q

הערך המבוקש של Q

פתרונות כלליים