שיעור זה עוסק בחקירת פונקציה טריגונומטרית המכילה שני פרמטרים, מציאת ערכי הפרמטרים על ידי שימוש בנקודות קיצון ויישום נגזרת לנקודת קיצון. נעשה תהליך יצירת משוואות מבוסס על הצבה ונגזרת ונפתור מערכת משוואות למציאת הפרמטרים.
להבין מה הם הפרמטרים בפונקציה טריגונומטרית נתונה
להכין שתי משוואות על בסיס נתונים של נקודת קיצון וערך הפונקציה
להשתמש בנגזרת של פונקציה טריגונומטרית להגדיר נקודת קיצון
לפתור מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים
לבצע בדיקות בקרה באמצעות הצבת פתרונות במחשבון
להבין את חשיבות הסימולציה והאימות למניעת טעויות
הגדרת הבעייה: נתונה פונקציה טריגונומטרית עם שני פרמטרים A ו-B. יש למצוא את הערכים של A ו-B.
הצבת נקודת קיצון: מניחים נקודת קיצון ומציבים את ערכי הפונקציה בנקודה זו, מה שמייצר את המשוואה הראשונה.
חישוב נגזרת והוצאת המשוואה השנייה: מעבירים לנגזרת הפונקציה, מחשבים אותה ומציבים את אותו X. משווים אותה ל-0 כדי לקבל נקודת קיצון, וכך יוצרים משוואה שנייה להשלמת המערכת.

תרגול קצר

מציאת פרמטרים בפונקציה טריגונומטרית

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה y = A sin(4πx/3) + B sin(2πx/3). ידוע כי בנקודת x=1 הפונקציה מקבלת את הערך -3√3/2, ושם הנגזרת שווה לאפס. מצא את הערכים של A ו-B.

טריגונומטריהנגזרותמערכות משוואות

רמז: השתמש בהצבת הערכים הנתונים בפונקציה בנקודה הנתונה על מנת לקבל משוואה ראשונה, ולאחר מכן נגזר את הפונקציה, הצב בנקודה הנתונה וקבל משוואה שנייה. פותר מערכת של שתי משוואות.

פתרון מלא

תשובה סופית: A=1, B=-2

מתחילים מהצבה של x=1 בפונקציה: A * sin(4π/3) + B * sin(2π/3) = -3√3/2. חשב את הערכים של הסינוסים: sin(4π/3) = -√3/2, sin(2π/3) = √3/2. המשוואה הופכת ל: A * (-√3/2) + B * (√3/2) = -3√3/2. נחלק את המשוואה ב-√3/2 כדי לפשט: -A + B = -3. לאחר מכן נגזור את הפונקציה: y' = A * (4π/3) * cos(4π/3) + B * (2π/3) * cos(2π/3). חשב את הקוסינוסים: cos(4π/3) = -1/2, cos(2π/3) = -1/2. אז y' = A * (4π/3) * (-1/2) + B * (2π/3) * (-1/2) = - (2π/3) A - (π/3) B. שווה לנגזרת 0 בנקודה: -(2π/3) A - (π/3) B = 0. נחלק ב-(π/3): 2A + B = 0. מערכת המשוואות: -A + B = -3 ו-2A + B = 0. נחסר את הראשונה מהשנייה: (2A + B) - (-A + B) = 0 - (-3) => 2A + B + A - B = 3 => 3A =3 => A=1. אם A=1 אז מהשנייה: 2(1) + B =0 => B=-2.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מציאת פרמטרים בפונקציה טריגונומטרית

פתרון מערכת משוואות מבוססת נקודת קיצון

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך הפרמטר A / ערך הפרמטר B
נתון 1
נתון 1
פונקציה y = A sin(4πx/3) + B sin(2πx/3)
נתון 2
נתון 2
x=1 בנקודת קיצון
נתון 3
נתון 3
y(1) = -3√3/2
רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש בהצבת ערך x בנקודת קיצון ליצירת שתי משוואות ולפתור מערכת משוואות.
נוסחה
הצבת ערך x=1 אצל הפונקציה ובנגזרת וקבלת משוואות
A * sin(4Pi/3) + B * sin(2Pi/3) = -3 sqrt(3)/2(4Pi/3) * A * cos(4Pi/3) + (2Pi/3) * B * cos(2Pi/3) = 0
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
פישוט הערכים וחיבור משוואות לפתרון A ו-B
פישוט הערכים וחיבור משוואות לפתרון A ו-B
-A + B = -32A + B = 0

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הצבת נתוני השאלה

מה עושים

רשמנו את הפונקציה וידענו את הערכים בנקודת קיצון x=1

למה

כדי לבסס את המשוואות שנצטרך לפתור

y = A sin(4πx/3) + B sin(2πx/3), y(1) = -3√3/2, y'(1) = 0

בחירת שיטה

יצירת שתי משוואות לפרמטרים

מה עושים

מציבים את x=1 בפונקציה ובנגזרת ומקבלים שתי משוואות

למה

לכן אפשר לפתור עבור A ו-B

המשוואות יאפשרו לפתור מערכת לנעלמים

בניית משוואה

כתיבת משוואות מהצבה

מה עושים

הצבת ערך x=1 אצל הפונקציה ובנגזרת וקבלת משוואות

למה

נבצע חישובים מדויקים בפונקציות סינוס וקוסינוס

A*sin(4π/3) + B*sin(2π/3) = -3√3/2 (4π/3)A*cos(4π/3) + (2π/3)B*cos(2π/3) = 0

נוסחה / הצבה

A * sin(4Pi/3) + B * sin(2Pi/3) = -3 sqrt(3)/2(4Pi/3) * A * cos(4Pi/3) + (2Pi/3) * B * cos(2Pi/3) = 0

חשב את ערכי הסינוס והקוסינוס במחשבון

פתרון

פישוט ופתרון מערכת המשוואות

מה עושים

פישוט הערכים וחיבור משוואות לפתרון A ו-B

למה

באמצעות אלגברה פשוטה

-A + B = -3 2A + B = 0 פתרון: A=1, B=-2

נוסחה / הצבה

-A + B = -32A + B = 0A=1B=-2

בדיקה

בדיקת ערכי הפרמטרים

מה עושים

הצבת A ו-B בפונקציה ובנגזרת בנקודת x=1

למה

כדי לוודא שהפתרון נכון ושזו נקודת קיצון

מחשבון מראה y(1) = -3√3/2 ו-y'(1) = 0

לבדוק את החישובים במחשבון עם סוגריים נכונות

פתרונות כלליים

מציאת פרמטרים בפונקציה טריגונומטרית: מתחילים מהצבה של x=1 בפונקציה: A * sin(4π/3) + B * sin(2π/3) = -3√3/2. חשב את הערכים של הסינוסים: sin(4π/3) = -√3/2, sin(2π/3) = √3/2. המשוואה הופכת ל: A * (-√3/2) + B * (√3/2) = -3√3/2. נחלק את המשוואה ב-√3/2 כדי לפשט: -A + B = -3. לאחר מכן נגזור את הפונקציה: y' = A * (4π/3) * cos(4π/3) + B * (2π/3) * cos(2π/3). חשב את הקוסינוסים: cos(4π/3) = -1/2, cos(2π/3) = -1/2. אז y' = A * (4π/3) * (-1/2) + B * (2π/3) * (-1/2) = - (2π/3) A - (π/3) B. שווה לנגזרת 0 בנקודה: -(2π/3) A - (π/3) B = 0. נחלק ב-(π/3): 2A + B = 0. מערכת המשוואות: -A + B = -3 ו-2A + B = 0. נחסר את הראשונה מהשנייה: (2A + B) - (-A + B) = 0 - (-3) => 2A + B + A - B = 3 => 3A =3 => A=1. אם A=1 אז מהשנייה: 2(1) + B =0 => B=-2.

הפריט הקודם הפריט הבא

ד1. חקירה של פונקציה טריגונומטרית מציאת פרמטרים בקרה במחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה טריגונומטרית

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערך הפרמטר A / ערך הפרמטר B

נתון 1

נתון 2

נתון 3

הרעיון המרכזי

הצבת ערך x=1 אצל הפונקציה ובנגזרת וקבלת משוואות

נבנה משוואה

פישוט הערכים וחיבור משוואות לפתרון A ו-B

פתרון מפורט

הצבת נתוני השאלה

יצירת שתי משוואות לפרמטרים

כתיבת משוואות מהצבה

פישוט ופתרון מערכת המשוואות

בדיקת ערכי הפרמטרים

פתרונות כלליים