השיעור עוסק בחקירת פונקציית הטנגנס, קביעת תחום ההגדרה, מציאת הסימטות האנכיות, זיהוי נקודות חיתוך עם הצירים, וזיהוי אוגנים לפי ערכי משתנה k. מודגש שימוש בלימיטים לבדיקת אסימפטוטות, ערכי חיתוכים, ואיור אינטואיטיבי של הפונקציה.
להבין את תחום ההגדרה של פונקציית הטנגנס
לחפש ולמצוא סימטות אנכיות של פונקציה טריגונומטרית
לזהות ולנתח נקודות חיתוך עם צירי x ו-y
להשתמש בלימיטים לבדיקת התנהגות פונקציה בקרבת אסימפטוטות
לנתח ולהבין מעבר פונקציית הטנגנס בתחום נתון
ללמוד לבדוק נכון ומהיר את ערכי k בתוך התחום
תחום ההגדרה של פונקציית הטנגנס: תחום ההגדרה מוגבל ל-x כך שהקוסינוס שונה מאפס, כלומר x לא שווה ל-pi/2 ועוד או פחות pi כפול k.
בדיקת סימטות אנכיות: עושים שימוש בלימיטים מימין ומשמאל לנקודות pi/2 ומינוס pi/2 כדי לוודא שהשיפוע נעשה אינסופי ואז מסמנים אוגנים בתור סימטות אנכיות.
נקודות חיתוך עם הצירים: הצגת חיתוך עם ציר ה-x פשוטה, נקודת החיתוך היא 0,0. חיתוך עם ציר ה-y קשה יותר לפתרון ויש להתייחס לכך בסבלנות.

תרגול קצר

קביעת תחום ההגדרה של הטנגנס

רמת קושי: קל

ממתין

תן את תחום ההגדרה של הפונקציה y = tan x.

תחום הגדרהטנגנסטריגונומטריה

רמז: זכור שטנגנס מוגדר רק כאשר הקוסינוס לא שווה לאפס.

פתרון מלא

תשובה סופית: x ∈ R, x ≠ pi/2 + pi*k, k ∈ ℤ

הקוסינוס מתאפס ב-x = pi/2 + pi*k, ולכן תחום ההגדרה הוא כל x שונה מ-pi/2 + pi*k עבור k שייך למספרים השלמים.

מציאת הסימטות האנכיות

רמת קושי: בינוני

ממתין

מצא את הסימטות האנכיות של הפונקציה y = tan x בתחום (-pi, pi).

סימטות אנכיותטנגנסלימיט

רמז: בדוק את הלימיט מימין ומשמאל לנקודות בהם הקוסינוס מתאפס.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = -pi/2, x = pi/2 הם הסימטות האנכיות

הנקודות הן x = -pi/2 ו-x = pi/2. הלימיט מימין ו-left מראות שהתהליך הולך לאינסוף או מינוס אינסוף, לכן אלה סימטות אנכיות.

מספר נקודות החיתוך עם ציר X

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בפונקציה y = tan (α x - 2 α x), כמה נקודות חיתוך יש עם ציר ה-X בתחום הנתון? (נניח שהתחום הוא בין -pi ל-pi).

נקודות חיתוךטנגנסתחום הגדרה

רמז: נציב y=0 ונפתור את המשוואה או נשתמש בהבנת פונקציות טריגונומטריות לשם הדמייה.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת חיתוך אחת עם ציר ה-X ב-x=0

לפי ניתוח הפונקציה y = tan(α x - 2 α x) = tan(-α x), נקודת חיתוך עם ציר x אחת ב- x=0, אך קיימות גם נקודות אוגנים הסוגרות על תחומים. לפי התחום -pi עד pi מספר נקודות החיתוך הוא 1 אמיתית.

חקירת פונקציית טנגנס בסיסית

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה הפונקציה y = tan x. קבע את תחום ההגדרה, מצא את הסימטות האנכיות וציין את נקודות החיתוך עם ציר ה-X בטווח (-2π, 2π).

טנגנסתחום הגדרהחיתוך עם ציריםסימטות אנכיות

רמז: 1. תחום ההגדרה הוא כל x למעט נקודות בהן קוסינוס שווה אפס. 2. הסימטות האנכיות נמצאות בנקודות הזו. 3. חיתוך עם ציר x כשהטנגנס שווה 0.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום: x ≠ pi/2 + pi*k סימטות: x = pi/2 + pi*k חיתוך עם ציר x: x = pi*k, k טווח בין -2 ל-2

1. תחום ההגדרה: x ≠ pi/2 + pi*k. 2. סימטות אנכיות: x = pi/2 + pi*k. 3. נקודות חיתוך עם ציר x הן x = pi*k, k צום שלמים בטווח (-2,2).

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקירת פונקציית הטנגנס – סימטות אנכיות ותחום הגדרה

איך למצוא את הסימטות האנכיות והתחום לפונקציה y = tan x

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא תחום ההגדרה של הפונקציה / המקומות של הסימטות האנכיות
נתון 1
נתון 1
y = tan x
נתון 2
תחום x: בין -pi ל-pi
רעיון
הרעיון המרכזי
קבעו איפה הקוסינוס מתאפס, אלו הן נקודות השלילה בתחום ההגדרה, ובדקו בעזרת לימיטים אם יש סימטות
נוסחה
תחום ההגדרה הוא כל x שונה מ-pi/2 ומינוס pi/2 בטווח הנתון.
x ≠ -pi/2, x ≠ pi/2x ≠ ± pi/2x != ()/(2)
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
חשב את הלימיט של tan x כאשר x שואף ל-pi/2 מימין ומשמאל.
חשב את הלימיט של tan x כאשר x שואף ל-pi/2 מימין ומשמאל.
לימיט משמאל ל-pi/2 שואף ל + אינסוףלימיט מימין ל-pi/2 שואף ל - אינסוף
תוצאה
מסיימים בתשובה
סימטות אנכיות נמצאות ב-x = -pi/2 ו-x = pi/2 בתוך התחום.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת הפונקציה וטווח

מה עושים

ידוע כי y = tan x, כאשר x בין -pi ל-pi.

למה

מוגבל על מנת לבחון בתחום סביר וידוע.

הפונקציה מוגדרת כשסינוס חלקי קוסינוס בתחום זה.

בחירת שיטה

מוצאים איפה הקוסינוס שווה אפס

מה עושים

פתרו cos x = 0 בטווח (-pi, pi).

למה

נקודות אלה נמחקות מתחום ההגדרה של הטנגנס.

קוסינוס שווה אפס בנקודות x = -pi/2 ו-x = pi/2.

נוסחה / הצבה

cos x = 0, ולכן x = -pi/2 או x = pi/2cos x = 0 → x = ± pi/2x = 0 => x = ()/(2)

זכור שקוסינוס מתאפס בנקודות אלה בלבד בטווח.

בניית משוואה

הגדרת תחום ההגדרה

מה עושים

תחום ההגדרה הוא כל x שונה מ-pi/2 ומינוס pi/2 בטווח הנתון.

למה

פונקציית הטנגנס לא מוגדרת במקום שבו הקוסינוס שווה לאפס.

תחום הגדרה: x ∈ (-pi, pi) \\\ {x ≠ -pi/2, x ≠ pi/2}

נוסחה / הצבה

x ≠ -pi/2, x ≠ pi/2x ≠ ± pi/2x != ()/(2)

כל נקודה שבה הקוסינוס מתאפס מושמטת מהתחום.

פתרון

בדיקת סימטות אנכיות עם לימיט

מה עושים

חשב את הלימיט של tan x כאשר x שואף ל-pi/2 מימין ומשמאל.

למה

לימיטים בעלי ערך אינסופי מציינים סימטות אנכיות.

lim_(x → pi/2-) tan x = +∞; lim_(x → pi/2+) tan x = -∞

נוסחה / הצבה

לימיט משמאל ל-pi/2 שואף ל + אינסוףלימיט מימין ל-pi/2 שואף ל - אינסוףlim x→ pi/2- tan x = +∞, lim x→ pi/2+ tan x = -∞_x ()/(2)^- x = +, _x ()/(2)^+ x = -

באופן דומה ל -pi/2.

תשובה

אפיון הסימטות האנכיות

מה עושים

סימטות אנכיות נמצאות ב-x = -pi/2 ו-x = pi/2 בתוך התחום.

למה

נקודות אלו הן במעין מחסום אנכי בפונקציה.

הסימטות האנכיות הן x = -pi/2 ו-x = pi/2

פתרונות כלליים

קביעת תחום ההגדרה של הטנגנס: הקוסינוס מתאפס ב-x = pi/2 + pi*k, ולכן תחום ההגדרה הוא כל x שונה מ-pi/2 + pi*k עבור k שייך למספרים השלמים.
מציאת הסימטות האנכיות: הנקודות הן x = -pi/2 ו-x = pi/2. הלימיט מימין ו-left מראות שהתהליך הולך לאינסוף או מינוס אינסוף, לכן אלה סימטות אנכיות.
מספר נקודות החיתוך עם ציר X: לפי ניתוח הפונקציה y = tan(α x - 2 α x) = tan(-α x), נקודת חיתוך עם ציר x אחת ב- x=0, אך קיימות גם נקודות אוגנים הסוגרות על תחומים. לפי התחום -pi עד pi מספר נקודות החיתוך הוא 1 אמיתית.
חקירת פונקציית טנגנס בסיסית: 1. תחום ההגדרה: x ≠ pi/2 + pi*k. 2. סימטות אנכיות: x = pi/2 + pi*k. 3. נקודות חיתוך עם ציר x הן x = pi*k, k צום שלמים בטווח (-2,2).

הפריט הקודם הפריט הבא

ו2. חקירה של פונקציה טריגונומטרית ת.ה אסימפטוטת חיתוך עם הצירים עוגנים ציור אינטואיטיבי בקרה במחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה טריגונומטרית

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא תחום ההגדרה של הפונקציה / המקומות של הסימטות האנכיות

נתון 1

תחום x: בין -pi ל-pi

הרעיון המרכזי

תחום ההגדרה הוא כל x שונה מ-pi/2 ומינוס pi/2 בטווח הנתון.

נבנה משוואה

חשב את הלימיט של tan x כאשר x שואף ל-pi/2 מימין ומשמאל.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הגדרת הפונקציה וטווח

מוצאים איפה הקוסינוס שווה אפס

הגדרת תחום ההגדרה

בדיקת סימטות אנכיות עם לימיט

אפיון הסימטות האנכיות

פתרונות כלליים