וידאו · תרגילים מסוגים שונים
סדרה חשבונית 21.09.20 - 3
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- לימוד פתרון תרגיל בסדרה חשבונית הכולל הקמת משוואות מסוכום איברים ראשונים, סופיים ושאר האיברים, ופיתרונן למציאת אורך הסדרה N.
- להבין כיצד לתרגם טקסט מילולי לסדרת משוואות במונחי איברי סדרה חשבונית
- להשתמש בנוסחאות לאיברי הסדרה החשבונית כללית
- לגבש מערכת משוואות ולפתור למציאת מספר האיברים בסדרה
- קריאת התרגיל והבנת הנתונים: הפיכת הנתון המילולי לביטועים של איגום איברי הסדרה החשבונית.
- הנחות על איברי הסדרה והצבת ביטויים אלגבריים: הצגת תנאי האיברים מהאיבר הראשון ועד האחרון בעזרת השורש A1 וההפרש D.
- הקמת מערכת המשוואות ופישוט: חיבור האיברים והקמת משוואות כולל חיבור האיברים הראשונים והאחרונים וחישוב סכום השאר.
תרגול קצר
מציאת מספר האיברים בסדרה חשבונית
רמת קושי: קל
בסדרה חשבונית סכום שני האיברים הראשונים ואחרונים הוא 46. סכום שאר האיברים הוא 299. מצא את מספר האיברים N בסדרה.
רמז: נסמן את האיברים בעזרת A1 וההפרש d ונכתוב משוואות מסוכום האיברים.
פתרון מלא
תשובה סופית: 30
נסמן את האיברים: A1, A2 = A1 + d, ... , AN-1 = A1 + (N-2)d, AN = A1 + (N-1)d. נתון A1 + A2 + AN-1 + AN = 46 והסכום של שאר האיברים בין A3 ל-AN-2 שווה 299. נכתוב משוואה ראשונה: A1 + (A1 + d) + (A1 + (N-2)d) + (A1 + (N-1)d) = 46 נסכם ונפשט: 4A1 + d + (N-2)d + (N-1)d = 46 → 4A1 + (2N - 2)d = 46 המשוואה השנייה היא סכום האיברים בין A3 ל-AN-2, נסמן מספר האיברים ביניהם: N - 4. נחשב סכום חלק זה: ((N-4)/2) * [2(A1 + 2d) + (N-5)d] = 299 נמצא שניתן לקשר באמצעות האלגברה ונקבל N = 30.
דרך הפתרון
פתרון תרגיל סדרה חשבונית
כיצד לחשב את מספר האיברים N בסדרה
מפת פתרון
- מטרה
למצוא מספר האיברים N בסדרה
- נתון 1
נתון 1
סכום A1 + A2 + AN-1 + AN = 46 - נתון 2
נתון 2
סכום A3 עד AN-2 = 299 - רעיון
הרעיון המרכזי
לכתוב משוואות לפי נתוני הסכומים בחלקים שונים של הסדרה ולפתור למציאת N.
- נוסחה
מחברים את האיברים הכלולים כדי לכתוב משוואה לגבי סך הסכום 46.
4A1+D(N-2)D(N-1)D - משוואה
מפשטים את הביטויים ומשלבים איברים דומים.
מפשטים את הביטויים ומשלבים איברים דומים.
4A1 + (2N - 2)D = 46 - פישוט
משייכים ומחשבים את משוואות המערכת עד למציאת N=30.
משייכים ומחשבים את משוואות המערכת עד למציאת N=30.
N = 30 - תוצאה
מסיימים בתשובה
מחשבים את סכום האיברים מ-A3 עד AN-2 ומציבים את הביטויים.
((N-4)/2) * [2(A1 + 2D) + (N-5)D] = 299
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתוני הסכום של האיברים
זיהוי נתונים
נתוני הסכום של האיברים
מה עושים
מזהים את האיברים הכלולים בנתונים: שני האיברים הראשונים והאחרונים וסכום שאר האיברים.
למה
כדי לתרגם את הנתונים המילוליים למתמטיים.
סכום שני האיברים הראשונים והאחרונים הוא 46, וסכום שאר האיברים הוא 299.
2בחירת שיטה
הצבת ביטויים למשוואות A1 ו-D
בחירת שיטה
הצבת ביטויים למשוואות A1 ו-D
מה עושים
מבטאים את האיברים השונים בעזרת A1 וההפרש D.
למה
לאפשר בניית משוואות אלגבריות פשוטות.
A2 = A1 + D, AN-1 = A1 + (N-2)D, AN = A1 + (N-1)D.
?
3בניית משוואה
כתיבת משוואת הסכום של האיברים
בניית משוואה
כתיבת משוואת הסכום של האיברים
מה עושים
מחברים את האיברים הכלולים כדי לכתוב משוואה לגבי סך הסכום 46.
למה
משוואה ראשונה במערכת.
4A1 + D + (N-2)D + (N-1)D = 46
נוסחה / הצבה
4A1+D(N-2)D(N-1)D4בניית משוואה
פישוט משוואה ראשונה
בניית משוואה
פישוט משוואה ראשונה
מה עושים
מפשטים את הביטויים ומשלבים איברים דומים.
למה
כדי לפשט את המשוואה ולעשותה ברורה לפיתרון.
4A1 + (2N - 2)D = 46
נוסחה / הצבה
4A1 + (2N - 2)D = 465בניית משוואה
משוואת סכום שאר האיברים
בניית משוואה
משוואת סכום שאר האיברים
מה עושים
מחשבים את סכום האיברים מ-A3 עד AN-2 ומציבים את הביטויים.
למה
משוואה שנייה במערכת לצורך פתרון N.
((N-4)/2) (2(A1 + 2D) + (N-5)D) = 299
נוסחה / הצבה
((N-4)/2) * [2(A1 + 2D) + (N-5)D] = 2996פתרון
פתרון המערכת למציאת N
פתרון
פתרון המערכת למציאת N
מה עושים
משייכים ומחשבים את משוואות המערכת עד למציאת N=30.
למה
זהו ערך מספר האיברים בסדרה הנדרש.
באמצעות פישוט ופתרון משוואות נמצא כי N שווה 30.
נוסחה / הצבה
N = 30הקפדה על סבלנות ושלבים מסודרים חשובה מאוד.
פתרונות כלליים
- מציאת מספר האיברים בסדרה חשבונית: נסמן את האיברים: A1, A2 = A1 + d, ... , AN-1 = A1 + (N-2)d, AN = A1 + (N-1)d. נתון A1 + A2 + AN-1 + AN = 46 והסכום של שאר האיברים בין A3 ל-AN-2 שווה 299. נכתוב משוואה ראשונה: A1 + (A1 + d) + (A1 + (N-2)d) + (A1 + (N-1)d) = 46 נסכם ונפשט: 4A1 + d + (N-2)d + (N-1)d = 46 → 4A1 + (2N - 2)d = 46 המשוואה השנייה היא סכום האיברים בין A3 ל-AN-2, נסמן מספר האיברים ביניהם: N - 4. נחשב סכום חלק זה: ((N-4)/2) * [2(A1 + 2d) + (N-5)d] = 299 נמצא שניתן לקשר באמצעות האלגברה ונקבל N = 30.