וידאו · תרגילים מסוגים שונים
משיק עם נגזרת מנה (ג.806.ב2.ע52.ת21)
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק במציאת נקודת השקה שבה שני משיקים לפונקציות שונות מקבילים, על ידי שימוש בנגזרת של פונקציית מנה והשוואת השיפועים בנקודת ההשקה.
- לזהות ולהבין את משמעות משיקים מקבילים לפונקציות שונות בנקודה משותפת
- לחשב נגזרת לפונקציית מנה לפי כלל המנה
- להציב בנגזרת נקודת השקה ולקבל שיפוע משיק
- להשוות שיפועים ולפתור משוואות למציאת נקודת ההשקה
- לבצע בקרה על התוצאה בעזרת חישוב שיפועים ונקודות בפונקציות
- הגדרת הבעיה: יש שתי פונקציות המשתנות עם x ומדובר על נקודת השקה t שבה קיימים משיקים לפונקציות ואלו משיקים מקבילים.
- חישוב נגזרות: נגזור כל פונקציה באמצעות כלל המנה כדי לקבל ביטוי לשיפוע המשיק בנקודה t.
- השוואת השיפועים ופתרון: השווים בין השיפועים ונקבל משוואה ריבועית. נפתור אותה לקבלת ערכי t האפשריים.
- בקרה על התוצאה: מחשב את שיפועי המשיקים ב-t שפתרנו ומוודא שהשיפועים אכן שווים לפי הפונקציות.
תרגול קצר
שיפוע משיק לפונקציית מנה בנקודה נתונה
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה y = x / (x + 1). מצא את שיפוע המשיק לנקודה x = 2.
רמז: השתמש בכלל המנה לנגזרת, לאחר מכן הצב את x=2 בנגזרת.
פתרון מלא
תשובה סופית: שיפוע המשיק בנקודה x=2 הוא 1/9.
נגזור לפי כלל המנה: f = x, g = x+1 f' = 1, g' = 1 נחושב נגזרת: ((x+1)*1 - x*1) / (x+1)^2 = (x+1 - x) / (x+1)^2 = 1/(x+1)^2 נציב x=2: שיפוע = 1/(2+1)^2 = 1/9
הוכחת מקבילות משיקים לפונקציות שונות
רמת קושי: בינוני
נתונות שתי הפונקציות y1 = x/(x+1) ו-y2 = (x-1)/(x+3). הוכח שבנקודה כלשהי t המשיקים לפונקציות מקבילים ומצא את ערכי t האפשריים.
רמז: חשוב לגזור את שתיהן לפי כלל המנה, להציב t ולהשוות את הנגזרות בשיוויון. לאחר מכן לפתור משוואה ריבועית.
פתרון מלא
תשובה סופית: המשיקים מקבילים בנקודות t = 1 ו-t = -5/3.
נגזור את y1: f = x, g = x+1 f' = 1, g' = 1 y1' = ((x+1)*1 - x*1) / (x+1)^2 = 1/(x+1)^2 נגזור את y2: f = x-1, g = x+3 f' = 1, g' = 1 y2' = ((x+3)*1 - (x-1)*1) / (x+3)^2 = (x+3 - x +1) / (x+3)^2 = 4/(x+3)^2 השווים: 1/(t+1)^2 = 4/(t+3)^2 כפל משתנים חופשי: (t+3)^2 = 4(t+1)^2 שורש משוואה: t+3 = ±2(t+1) אחרי פתיחה תקינים: כאשר t+3 = 2(t+1) ⇒ t+3 = 2t + 2 ⇒ t = 1 כאשר t+3 = -2(t+1) ⇒ t+3 = -2t - 2 ⇒ 3t = -5 ⇒ t = -5/3
בדיקת מקבילות משיקים ובניית משוואת משיק
רמת קושי: מאתגר
בהינתן הפונקציות y1 = x/(x+1), y2 = (x-1)/(x+3). נקבע כי בנקודה t המשיקים מקבילים. בדוק את השיפועים בנקודות האלה והכנס את t=1 למשוואת המשיק בפונקציה הראשונה.
רמז: חשב את הנגזרות, בדוק שוויון בנקודות ואז חשב את משוואת המשיק y - y0 = m(x - x0).
פתרון מלא
תשובה סופית: משוואת המשיק בנקודה t=1 לפונקציה y1 היא: y = (1/4)(x -1) + 1/2.
נגזרות: y1' = 1/(x+1)^2, y2' = 4/(x+3)^2 נציב t=1: שיפוע y1' = 1/(1+1)^2 = 1/4 שיפוע y2' = 4/(1+3)^2 = 4/16 = 1/4 הוא שווה, אכן משיקים מקבילים y1 בשורש t=1: y1(1) = 1/(1+1) = 1/2 משוואת משיק: y - 1/2 = 1/4 (x -1)
משוואות משיקים מקבילים לפונקציות מנה
רמת קושי: בגרות
נתונות הפונקציות y= x/(x+1) ו-y= (x-1)/(x+3). ידוע שבנקודה t קיימים משיקים לפונקציות השוות בשיפוע. מצא את ערך t והצג את משוואות המשיקים בנקודה זו לפונקציות.
רמז: גזור כל פונקציה לפי כלל המנה, השווה את הנגזרות בנקודה t, פשט ונצל את התוצאה כדי למצוא t. אחר כך הצב את t בפונקציות ובנגזרות לפתרון המשוואות.
פתרון מלא
תשובה סופית: ערכי t הם 1 ו- -5/3. משוואת המשיק ל-t=1 בפונקציה הראשונה היא y = 1/4 (x - 1) + 1/2.
נגזרות: y1' = 1/(x+1)^2 y2' = 4/(x+3)^2 השווה בנקודה t: 1/(t+1)^2 = 4/(t+3)^2 נפתור: (t+3)^2 = 4(t+1)^2 שורש משוואה: 1) t+3 = 2(t+1) ⇒ t=1 2) t+3 = -2(t+1) ⇒ t=-5/3 נחשב משוואות משיקים עבור t=1: y1(1) = 1/2, m1=1/4 משוואת המשיק: y - 1/2 = 1/4 (x - 1) ל-t = -5/3 ניתן לחזור על התהליך כאמור.
דרך הפתרון
מפת פתרון - מציאת נקודת השקה ומשיקים מקבילים
פתרון תרגיל המשיקים המקבילים לפונקציות מנה
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ערכי t שיגרמו למשיקים להיות מקבילים
- נתון 1
נתון 1
פונקציה ראשונה y = x חלקי (x+1) - נתון 2
נתון 2
פונקציה שנייה y = (x-1) חלקי (x+3) - נתון 3
המשיקים בנקודה t מקבילים
- רעיון
הרעיון המרכזי
לחשב נגזרות לפי כלל המנה, להציב נקודת t, להשוות שיפועים ולפתור משוואה.
- נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
- משוואה
הציבו t בנגזרות של שני הפונקציות והשוו אותם.
הציבו t בנגזרות של שני הפונקציות והשוו אותם.
- פישוט
פתרו את המשוואה הריבועית שהתקבלה.
פתרו את המשוואה הריבועית שהתקבלה.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הבנת הנתונים והבעיה
זיהוי נתונים
הבנת הנתונים והבעיה
מה עושים
רשמנו את הפונקציות ונתון שהמשיקים בנקודת t מקבילים.
למה
להכיר את הפונקציות ואת המשמעות של משיקים מקבילים (שיפועים שווים).
יש שתי פונקציות לצורך מציאת נקודה שבה משיקיהן מקבילים.
חשוב לתרגם מילים לשרטוט ולהבנת הבעיה.
2בחירת שיטה
חישוב נגזרות של הפונקציות
בחירת שיטה
חישוב נגזרות של הפונקציות
מה עושים
נגזור כל פונקציה לפי כלל המנה.
למה
כדי לקבל ביטוי לשיפוע המשיק כאילו בנקודה כלשהי.
נגזרת פונקציית מנה היא (g*f' - f*g') חלקי g בריבוע.
נוסחה / הצבה
נגזרת של f/g היא (g כפול נגזרת f פחות f כפול נגזרת g) חלקיg בריבוע.שימו לב לסימנים ולכלל המנה.
3בניית משוואה
הצבת נקודת ההשקה t והשוואת שיפועים
בניית משוואה
הצבת נקודת ההשקה t והשוואת שיפועים
מה עושים
הציבו t בנגזרות של שני הפונקציות והשוו אותם.
למה
כי משיקים מקבילים משמעותם שהשיפועים שווים בנקודה זו.
מקבלים משוואה עם t שיש לפתור.
השוואת נגזרות משוואה שמובילה למשוואה ריבועית.
4פתרון
פתירת המשוואה למציאת t
פתרון
פתירת המשוואה למציאת t
מה עושים
פתרו את המשוואה הריבועית שהתקבלה.
למה
כדי למצוא את נקודות ההשקה שבהן המשיקים מקבילים.
מתקבלים שני ערכי t: 1 ו- -5/3.
בדקו פתרונות בעזרת שורש חיובי ושלילי.
5בדיקה
בקרה על התוצאה
בדיקה
בקרה על התוצאה
מה עושים
הציבו את t בנגזרות ובפונקציות ובדקו שהשיפועים שווים.
למה
כדי לוודא את נכונות הפתרון.
שיפועים בנקודות שנמצאו אכן שווים, וכל חישוב נכון.
בצעו בדיקת נכונות עם חישובי מכשיר חישוב אם צריך.
6תשובה
קבלת התוצאות
תשובה
קבלת התוצאות
מה עושים
הצגת נקודות ההשקה t ומשוואות המשיק הרלוונטיות.
למה
סיום הפתרון ומתן פלט ברור לתלמיד.
ערכי t הם 1 ו- -5/3, עם שיפועים שווים בכל נקודה.
הציגו פתרונות מסודרים וקשורים לבעיה.
פתרונות כלליים
- שיפוע משיק לפונקציית מנה בנקודה נתונה: נגזור לפי כלל המנה: f = x, g = x+1 f' = 1, g' = 1 נחושב נגזרת: ((x+1)*1 - x*1) / (x+1)^2 = (x+1 - x) / (x+1)^2 = 1/(x+1)^2 נציב x=2: שיפוע = 1/(2+1)^2 = 1/9
- הוכחת מקבילות משיקים לפונקציות שונות: נגזור את y1: f = x, g = x+1 f' = 1, g' = 1 y1' = ((x+1)*1 - x*1) / (x+1)^2 = 1/(x+1)^2 נגזור את y2: f = x-1, g = x+3 f' = 1, g' = 1 y2' = ((x+3)*1 - (x-1)*1) / (x+3)^2 = (x+3 - x +1) / (x+3)^2 = 4/(x+3)^2 השווים: 1/(t+1)^2 = 4/(t+3)^2 כפל משתנים חופשי: (t+3)^2 = 4(t+1)^2 שורש משוואה: t+3 = ±2(t+1) אחרי פתיחה תקינים: כאשר t+3 = 2(t+1) ⇒ t+3 = 2t + 2 ⇒ t = 1 כאשר t+3 = -2(t+1) ⇒ t+3 = -2t - 2 ⇒ 3t = -5 ⇒ t = -5/3
- בדיקת מקבילות משיקים ובניית משוואת משיק: נגזרות: y1' = 1/(x+1)^2, y2' = 4/(x+3)^2 נציב t=1: שיפוע y1' = 1/(1+1)^2 = 1/4 שיפוע y2' = 4/(1+3)^2 = 4/16 = 1/4 הוא שווה, אכן משיקים מקבילים y1 בשורש t=1: y1(1) = 1/(1+1) = 1/2 משוואת משיק: y - 1/2 = 1/4 (x -1)
- משוואות משיקים מקבילים לפונקציות מנה: נגזרות: y1' = 1/(x+1)^2 y2' = 4/(x+3)^2 השווה בנקודה t: 1/(t+1)^2 = 4/(t+3)^2 נפתור: (t+3)^2 = 4(t+1)^2 שורש משוואה: 1) t+3 = 2(t+1) ⇒ t=1 2) t+3 = -2(t+1) ⇒ t=-5/3 נחשב משוואות משיקים עבור t=1: y1(1) = 1/2, m1=1/4 משוואת המשיק: y - 1/2 = 1/4 (x - 1) ל-t = -5/3 ניתן לחזור על התהליך כאמור.