בחינה של אינטגרלים של פונקציות מורכבות באמצעות שיטת ההצבה, עם דגש על טיפול במנה המערבת נגזרות וחזקות, ופישוט הפתרון באמצעות חילוק וחזקות של משתנים.
להבין את שיטת ההצבה באינטגרלים מורכבים
ליישם את שיטת ההצבה על פונקציות עם חזקות ושלישיות
לזהות שינויים מתאימים במשתנים לצורך פישוט האינטגרל
לבצע בדיקת תוצאה באמצעות נגזרות
להבין את התהליך בלתי הרסני של החלפת משתנים באינטגרלים
בעיית האינטגרל על פונקציה בהצבה: התמודדות עם אינטגרל של פונקציה מסוג f' של x חלקי f של x בשלישית, בעייתי ישירות בגלל מנה ומגזרות עם חזקות. נעבור לייצוג חדש לצורך פישוט.
שימוש בשיטת ההצבה: הצבה של t = f(x) ולאחר מכן גזירה ואינטגרציה מתאפשרת פישוט משמעותי של הביטוי על ידי שינוי משתנים מתקדם.

תרגול קצר

אינטגרל של פונקציה בהצבה פשוטה

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את האינטגרל של 1 חלקי f של x בשלישית כפול נגזרת של f של x לגבי x.

אינטגרליםהצבהפישוט

רמז: הצבע t = f(x) והחלף משתנים, שמור על הטיפול בנגזרת הפנימית.

פתרון מלא

תשובה סופית: -1 חלקי 2 כפול [f(x)] בריבוע + c

מציבים t = f(x), נכפיל ב-dt ונחשב את האינטגרל של t בחזקת מינוס 3. האינטגרל הוא t בחזקת מינוס 2 חלקי מינוס 2, מחזירים ל-f(x) לקבלת התוצאה הסופית.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מפת פתרון לאינטגרל בשיטת ההצבה

כיצד לפשט אינטגרל המכיל מנה עם נגזרת וחזקות

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך האינטגרל בפונקציה המקורית
נתון 1
f'(x) - נגזרת של הפונקציה f
נתון 2
f(x) בשלישית במכנה
רעיון
הרעיון המרכזי
להציב t = f(x) כדי להמיר את האינטגרל לאינטגרל פשוט של t בחזקת מינוס 3 ולחשב אותו.
נוסחה
החלפה באינטגרל של t בחזקת מינוס 3 dt
integral t ^ -3 dt∫ t^(-3) dtt^(-3) dt
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
חישוב האינטגרל הוא t בחזקת מינוס 2 חלקי מינוס 2 ועוד קבוע c
חישוב האינטגרל הוא t בחזקת מינוס 2 חלקי מינוס 2 ועוד קבוע c
integral t ^ -3 dt = t ^ -2 divided by -2 plus ct^(-3) dt = t^(-2) / -2 + c
תוצאה
מסיימים בתשובה
נגזור את התוצאה כדי לוודא שתקבל את הפונקציה המקורית

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

מה עושים

נגזור את התוצאה כדי לוודא שתקבל את הפונקציה המקורית

למה

כך מאשרים שהפתרון נכון

פתרונות כלליים

אינטגרל של פונקציה בהצבה פשוטה: מציבים t = f(x), נכפיל ב-dt ונחשב את האינטגרל של t בחזקת מינוס 3. האינטגרל הוא t בחזקת מינוס 2 חלקי מינוס 2, מחזירים ל-f(x) לקבלת התוצאה הסופית.

הפריט הקודם הפריט הבא

א4. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערך האינטגרל בפונקציה המקורית

f'(x) - נגזרת של הפונקציה f

f(x) בשלישית במכנה

הרעיון המרכזי

החלפה באינטגרל של t בחזקת מינוס 3 dt

נבנה משוואה

חישוב האינטגרל הוא t בחזקת מינוס 2 חלקי מינוס 2 ועוד קבוע c

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הבנת הביטוי הנתון

בחירת הצבה מתאימה

המרת האינטגרל למשתנה t

חשב אינטגרל של חזקת t

החזר את התוצאה לf(x)

בדוק את הפתרון באמצעות נגזרת

פתרונות כלליים