השיעור עוסק בשימוש בשיטת ההצבה לפתרון אינטגרלים מיוחדים, תוך שילוב חילוק פולינומים. מוסבר התהליך של הצבת משתנה חדש (t) במקום פונקציה של x, פתרון אינטגרל בשינוי משתנה, וחזרה למשתנה המקורי לאחר השלמת האינטגרציה.
להכיר את שיטת ההצבה לפתרון אינטגרלים מורכבים
לדעת להגדיר הצבה מתאימה ולהמיר אינטגרל במשתנה חדש
לפתור אינטגרלים של פונקציות המכילות שורש
להבין את חשיבות החזרה למשתנה המקורי בסיום הפתרון
הגדרת המשתנה בשיטת ההצבה: מחליפים את פונקציית x במשתנה חדש t, מה שמאפשר הפשטה נפוצה באינטגרלים.
פתרון האינטגרל במשתנה t: מחשבים את האינטגרל לאחר ההצבה במשתנה t, מבצעים אינטגרציה פשוטה יותר.
חזרה למשתנה המקורי x: לאחר חישוב האינטגרל במשתנה t, מחזירים את הפתרון לצורתו המקורית במשתנה x.

תרגול קצר

אינטגרל עם הצבת משתנה t

רמת קושי: קל

ממתין

פתור את האינטגרל ∫ (1/√(f(x))) f'(x) dx באמצעות הצבה מתאימה.

הצבת_משתנהאינטגרלשורש

רמז: הגדר t כפונקציה של f(x), השתמש בנוסחאות אינטגרציה לפונקציות חזקה.

פתרון מלא

תשובה סופית: 2√(f(x)) + C

הצבה: t = f(x), אז dt = f'(x) dx. האינטגרל הופך ל- ∫ t^(-1/2) dt = 2√t + C. מחזירים ל-x: 2√(f(x)) + C.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון האינטגרל באמצעות הצבה

איך לפתור אינטגרל השורש בצורת t

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא פתרון האינטגרל במשתנה x
נתון 1
פונקציה f(x) עם נגזרת f'(x)
נתון 2
האינטגרל ∫ (1/√(f(x))) f'(x) dx
רעיון
הרעיון המרכזי
הגדירו משתנה חדש t במקום f(x), חשבו את האינטגרל ב-t, ואז חזרו ל-x.
נוסחה
החלף את f(x) ב-t ואת f'(x) dx ב-dt
integral of t to the power of -1/2 dt∫ t^(-1/2) dtt^(-(1)/(2)) dt
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
חשב ∫ t^(-1/2) dt
חשב ∫ t^(-1/2) dt
2 times square root of t plus C2 sqrt(t) + C
תוצאה
מסיימים בתשובה
החלף t ב-f(x)
2 times square root of f of x plus C2 sqrt(f(x)) + C

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הבהרת השאלה

מה עושים

זיהוי הפונקציה ומרכיביה באינטגרל

למה

מכירות הנתון מאפשרת להצבה נכונה

האינטגרל נתון בצורת פונקציה שכוללת שורש ו-nf'(x) dx.

בחירת שיטה

הגדרת המשתנה t

מה עושים

הגדירו t = f(x)

למה

פישוט האינטגרל למשתנה אחד

משתנה t מחליף את f(x) כדי להקל על החישוב.

נוסחה / הצבה

t = f(x)

וודא שההגדרה נכונה לכך ש-dt = f'(x) dx

בניית משוואה

כתיבת אינטגרל חדש

מה עושים

החלף את f(x) ב-t ואת f'(x) dx ב-dt

למה

לקבל אינטגרל פשוט יותר

האינטגרל הופך ל- ∫ t^(-1/2) dt

נוסחה / הצבה

integral of t to the power of -1/2 dt∫ t^(-1/2) dtt^(-(1)/(2)) dt

השתמש בנוסחה לאינטגרלים של חזקות

פתרון

ביצוע האינטגרציה

מה עושים

חשב ∫ t^(-1/2) dt

למה

כדי לקבל ביטוי מפושט

התוצאה היא 2√t + C

נוסחה / הצבה

2 times square root of t plus C2 sqrt(t) + C2 t + C

בנקודת m = -1/2 האינטגרל הוא t^(m+1)/(m+1)

תשובה

הצבת t חזרה כפונקציית x

מה עושים

החלף t ב-f(x)

למה

התשובה חייבת להיות במשתנה המקורי

התוצאה הסופית היא 2√(f(x)) + C

נוסחה / הצבה

2 times square root of f of x plus C2 sqrt(f(x)) + C2 f(x) + C

זכור להחזיר תמיד את המשתנה המקורי בסיום פתרון אינטגרל

פתרונות כלליים

אינטגרל עם הצבת משתנה t: הצבה: t = f(x), אז dt = f'(x) dx. האינטגרל הופך ל- ∫ t^(-1/2) dt = 2√t + C. מחזירים ל-x: 2√(f(x)) + C.

הפריט הקודם הפריט הבא

א6. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא פתרון האינטגרל במשתנה x

פונקציה f(x) עם נגזרת f'(x)

האינטגרל ∫ (1/√(f(x))) f'(x) dx

הרעיון המרכזי

החלף את f(x) ב-t ואת f'(x) dx ב-dt

נבנה משוואה

חשב ∫ t^(-1/2) dt

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הבהרת השאלה

הגדרת המשתנה t

כתיבת אינטגרל חדש

ביצוע האינטגרציה

הצבת t חזרה כפונקציית x

פתרונות כלליים