וידאו · אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
א5. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
א6. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
א7. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
א8. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
א9. אינטגרלים מיוחדים חילוק פולינומים
א10. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
א11. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
א12. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
א13. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
א14. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
חילוק פולינומים למנה ללא שארית
רמת קושי: קל
חשב את חילוק הפולינום X³ - 7X² + 6 ב-X - 1 וכתוב את התוצאה.
רמז: השתמש בשיטת חילוק הפולינומים הארוך: מחלק את המנה על ידי ראשוני המנה ואל תפסיק עד לשארית אפס.
תשובה סופית: X² - 6X - 6
מחלקים X³ ב-X מקבלים X². כופלים X² ב-(X - 1) לקבל X³ - X². מחסירים לקבל -6X² + 6. מחלקים -6X² ב-X מקבלים -6X. כופלים וקוצרים -6X² + 6X, מחסירים ומקבלים סהכ -6X + 6. מחלקים -6X ב-X ומקבלים -6. כופלים ומקבלים -6X + 6, מחסירים ומקבלים שארית 0.
זיהוי נקודת חור בפונקציה
רמת קושי: בינוני
בהינתן הפונקציה f(x) = (X³ - 7X² + 6) / (X - 1), האם קיימת נקודת חור? אם כן, מהי ומדוע?
רמז: בדוק אם ניתן לצמצם את הפונקציה. האם המכנה מתאפס באותה נקודה שהמונה מתאפס?
תשובה סופית: נקודת חור ב-X=1 כי הביטוי מצומצם אך המכנה מתאפס.
מחלקים את הפונום ומצמצמים את הפולינום. נקודת חור היא ב-X=1 כי המכנה מתאפס שם אך לאחר צמצום הפונקציה מוגדרת בכל מקום אחר.
הוכחת שקילות ביטויים באמצעות מחשבון
רמת קושי: מאתגר
בדוק אם הביטוי X³ - 7X² + 6 חלקי (X - 1) שווה לביטוי לאחר חילוק הפולינומים בעזרת מחשבון, על ידי חישוב ערכים ב-X=17 ו-X=301.
רמז: חשב את הערכים של שני הביטויים וודא ששניהם שווים.
תשובה סופית: הביטויים שקולים בנקודות שנבדקו.
מחושב שבכל נקודה הערכים מתאימים ומחזירים 0 כשמחליפים בערכים האלו, מה שמאשר שקילות ביטויים.
פישוט אינטגרל עם חילוק פולינומים
רמת קושי: בגרות
נתון האינטגרל של הביטוי (X³ - 7X² + 6) / (X - 1). בצע חילוק פולינומים ופשט את האינטגרל כך שיתאפשר חישובו בקלות.
רמז: השתמש בחילוק פולינומים כדי לפרק את הביטוי המורכב לפולינום ועוד שבר פשוט.
תשובה סופית: ∫(X² - 6X - 6) dx + C = (X³)/3 - 3X² - 6X + C
חילוק הפולינומים נותן X² - 6X - 6 ללא שארית. האינטגרל יהיה אינטגרל של X² - 6X - 6 + C.
שלבים לפישוט אינטגרל בעזרת חילוק פולינומים
להשתמש בשיטת חילוק פולינומים ארוך כדי להשיג ביטוי פשוט ומפושט לאינטגרל.
X^2 - 6X - 6X² - 6X - 6x^(2) - 6x - 6רשום את החלוקה של X³ ב-X והמשך התהליך.
תמשיך במחלקות, כפל וחיסור עד שסיימת ללא שארית.
כתב את המונה והמכנה כרשומות ברורות.
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
כתב את המונה והמכנה כרשומות ברורות.
למה
חשוב להכיר את הפולינומים לפני החלוקה.
X³ - 7X² + 6 מונה, X - 1 מכנה.
בחירת שיטה
מה עושים
לחלק את הפולינום המונה לפי ראשוני הפולינום במכנה בסדר יורד.
למה
שיטה זו מאפשרת פירוק לפולינום נמוך יותר בפשטות.
מחלקים ראשוני במכנה ראשוני במונה ושוכפלים כדי לחסר.
בצעו בהמשך את השלבים במחברת
בניית משוואה
מה עושים
רשום את החלוקה של X³ ב-X והמשך התהליך.
למה
זהו צעד הכרחי להשגת המנה.
X³ חלקי X = X². כופלים ב-(X-1) ומחסרים.
פתרון
מה עושים
תמשיך במחלקות, כפל וחיסור עד שסיימת ללא שארית.
למה
שיטה סטנדרטית עד לקבלת תוצאה מפושטת.
מגיעים ל-X² - 6X - 6 ללא שארית.
בדקו שלא נשארה שארית
תשובה
מה עושים
ציין את התוצאה הסופית של החלוקה.
למה
נדרש כדי לדעת שיש ביטוי פשוט לאינטגרל.
המנה היא X² - 6X - 6, מתאים לאינטגרציה פשוטה.
נוסחה / הצבה
X^2 - 6X - 6X² - 6X - 6x^(2) - 6x - 6התוצאה מאפשרת לעשות אינטגרציה ישירה