וידאו · אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
א7. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
א8. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
א9. אינטגרלים מיוחדים חילוק פולינומים
א10. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
א11. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
א12. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
א13. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
א14. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה
אינטגרל להצבה עם t = x² - 3x
רמת קושי: קל
חשב את האינטגרל ∫ sqrt(x^2 - 3x) (2x - 3) dx בעזרת הצבת t = x² - 3x.
רמז: הגדר t = x² - 3x ואז הוצא dt בהצבה; זה הופך לאינטגרל של t בחזקת 1/2.
תשובה סופית: (2/3) (x² - 3x)^{3/2} + C
הגדרה: t = x² - 3x דיפרנציאל: dt = (2x - 3) dx האינטגרל הופך ל: ∫ sqrt(t) dt = ∫ t^(1/2) dt חישוב: (2/3) t^(3/2) + C (אם מחשיבים לפי שיטות כלליות) כאשר מחזירים לx: (2/3) (x² - 3x)^(3/2) + C לפי התרגיל המדויק בשיעור, התוצאה פשוטה יותר ל-2 שורש t + C, כי אינטגרל הוא חזקות שונות. במקרה זה אינטגרל sqrt(t) dt = (2/3) t^{3/2} + C. אך בשיעור נעשה אינטגרל של t^-1/2, אז שים לב להבדל זה.
שימוש בדיפרנציאל להצבה נוחה של אינטגרל
t = x² - 3xdt = (2x - 3) dxלהחליף את משתנה האינטגרציה ל-t, להמיר את dx בהתאם לדיפרנציאל, ולחשב אינטגרל פשוט ב-t.
dt = (2x - 3) dxמציבים את הנתונים במשוואה.
חשב ∫ t^(1/2) dt
int t^(1/2) dt = 2/3 t^(3/2) + C∫ t^(1/2) dt = 2/3 t^(3/2) + Cהחלף חזרה t ב- x² - 3x בתוצאה
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
קבע t כשווה ל-x בריבוע פחות שלוש x
למה
כדי להקל על האינטגרל ולהפוך אותו לצורה פשוטה יותר
הגדרת t = x² - 3x מאפשרת להסתכל על הביטוי בתוך השורש בצורה נוחה
בחר משתנה שמופיע בתוך הפונקציה ולא בנפרד
בניית משוואה
מה עושים
חשב dt עפ"י dx: dt = (2x - 3) dx
למה
להחליף את dx במונחים של dt ולפשט את האינטגרל
נגזור t ונמצא את dt כדי לדעת כיצד להחליף אינטגרלים במשתנה t
נוסחה / הצבה
dt = (2x - 3) dxזכור שמכפלת dx צריכה להיות מוחלפת בדיפרנציאל המתאים
בחירת שיטה
מה עושים
החלף sqrt(x² - 3x) ב-sqrt(t) ואת (2x - 3) dx ב-dt
למה
כך האינטגרל יהפוך ל ∫ sqrt(t) dt שקל יותר לחישוב
הפיכה לאינטגרל מוכר ומוכוון לפי t
שים לב ש-(2x -3) dx שווה ל-dt לפי הצעד הקודם
פתרון
מה עושים
חשב ∫ t^(1/2) dt
למה
אינטגרל חזקות פשוט שניתן לפתור בקלות
האינטגרל הוא פונקציית חזקה סטנדרטית
נוסחה / הצבה
int t^(1/2) dt = 2/3 t^(3/2) + C∫ t^(1/2) dt = 2/3 t^(3/2) + Ct^((1)/(2)) dt = (2)/(3) t^((3)/(2)) + Cזכור את כלל האינטגרציה של חזקות
תשובה
מה עושים
החלף חזרה t ב- x² - 3x בתוצאה
למה
כי פתרון הסופי צריך להיות במשתנה המקורי x
חשוב להחזיר את המשתנה לפורמט המקורי כדי לקבל פתרון ברור
שווה לבדוק את התוצאה ע"י גזירה ובקרה