MMATH
התחברות

וידאו · אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

א1. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
וידאו

א1. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

וידאו

א2. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

וידאו

א3. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

וידאו

א4. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

וידאו

א5. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

וידאו

א6. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

וידאו

א7. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

וידאו

א8. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

וידאו

א9. אינטגרלים מיוחדים חילוק פולינומים

וידאו

א10. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

וידאו

א11. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

וידאו

א12. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

וידאו

א13. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

וידאו

א14. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

סיכום שיעור

  • שיעור העוסק בפיתרון אינטגרלים של פונקציות המכילות מכפלות, מנות ופונקציות מורכבות דרך שיטת ההצבה. דגש על זיהוי קשר גזירי בין גורמים בתרגיל על מנת להקל על פתרון האינטגרל.
  • להבין מתי אפשר להשתמש בשיטת ההצבה באינטגרלים
  • לזהות קשר גזירי בין גורמים בתרגיל
  • לכתוב את ההצבה כמשוואה ולפשט אינטגרלים מורכבים
  • ליישם את שיטת ההצבה לפתרון אחד אינטגרלים מיוחד
  • הצגת הבעיה: התלמידים מתמודדים עם אינטגרלים מורכבים שאינם ניתנים לפתרון ישיר באמצעות נוסחאות מוכרות.
  • זיהוי הקשר הגזירי: בחינה של פונקציה מורכבת וצמודה אליה פונקציה פשוטה שמהווה את נגזרת הפנימית של המורכבת, מה שמאפשר שימוש בשיטת ההצבה.
  • יישום שיטת ההצבה: ניתוח השלבים לצורך הצבה, כתיבת תחליף עבור הפונקציה הפנימית, וגזירתה על מנת להקל על האינטגרציה.

תרגול קצר

אינטגרל של פונקציה עם הצבה פשוטה

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את האינטגרל של פונקציה שבה מופיע מכפלה של פונקציה מורכבת וגזירתה של הפונקציה הזו, לדוגמה אינטגרל של (2x - 1)*e^(x^2 - x) dx.

הצבהאינטגרליםפונקציות מורכבות

רמז: זהה את הפונקציה הפנימית (x^2 - x) והחלף אותה במשתנה u.

פתרון מלא

תשובה סופית: e^(x^2 - x) + C

נגדיר u = x^2 - x. אז du/dx = 2x - 1. משמעות הדבר ש-(2x - 1) dx = du. האינטגרל הופך להיות אינטגרל של e^u du, שהוא e^u + C. נציב חזרה u = x^2 - x.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון אינטגרל עם שיטת ההצבה

דוגמה לאינטגרל של פונקציה ומכפלת נגזרתה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא ערך האינטגרל של הפונקציה הנתונה

  2. נתון 1

    הפונקציה שבתוך האקספוננטה: x² - x

  3. נתון 2

    הכפלת הפונקציה בנגזרתה: 2x - 1

  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    להגדיר הצבה u כפונקציה הפנימית ואז להמיר את האינטגרל לפונקציה של u

  5. נוסחה

    u = x² - x

    u = x^2 - x
  6. משוואה

    מקבלים du/dx = 2x - 1 ולכן du = (2x - 1) dx

    מקבלים du/dx = 2x - 1 ולכן du = (2x - 1) dx

    du = (2x - 1) dx
  7. פישוט

    האינטגרל הופך להיות ∫ e^u du

    האינטגרל הופך להיות ∫ e^u du

    ∫ e^u du
  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    ∫ e^u du = e^u + C, מחזירים את u למקור

    e^u + Ce^(x^2 - x) + C

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הפונקציה ומכפלותיה

מה עושים

נתונה הפונקציה e^(x² - x) מוכפלת ב-(2x - 1)

למה

השילוב הזה מתאים להצבה כי 2x - 1 הוא נגזרת של x² - x

הפונקציה מורכבת מאד, אבל יש לה רכיב שנגזרת של פונקציה בתוך האקספוננטה מופיעה כחלק מהמכפלה

2

בחירת שיטה

להשתמש בהצבה

מה עושים

נגדיר משתנה חדש u שווה ל x² - x

למה

כדי להחליף את האינטגרל במשתנה פשוט יותר

ההצבה מפשטת את האינטגרל ומקל על הפתרון

3

בניית משוואה

הגדרת ההצבה

מה עושים

u = x² - x

למה

מייצג את הפונקציה המורכבת הפנימית בתוך האינטגרל

הערך u הוא פונקציה לבד שאיתה נעבוד במקום x

נוסחה / הצבה

u = x^2 - x
4

בניית משוואה

חשב את du

מה עושים

מקבלים du/dx = 2x - 1 ולכן du = (2x - 1) dx

למה

כדי להחליף את dx ב-du במשוואת האינטגרל

הנגזרת של u נראית בתוך האינטגרל ולכן אפשר להחליף

נוסחה / הצבה

du = (2x - 1) dx
5

פתרון

החלפה באינטגרל

מה עושים

האינטגרל הופך להיות ∫ e^u du

למה

הפונקציה הפכה פשוטה יותר ואפשר לחשב אותה בקלות

שינוי המשתנה מפשט באופן דרמטי את חישוב האינטגרל

נוסחה / הצבה

∫ e^u du
6

תשובה

פתרון האינטגרל

מה עושים

∫ e^u du = e^u + C, מחזירים את u למקור

למה

לסיים את הפתרון עם המשתנה המקורי

אינטגרל פונקצית החזקה הוא פשוט ולכן נציג את התוצאה הסופית

נוסחה / הצבה

e^u + Ce^(x^2 - x) + C

פתרונות כלליים

  • אינטגרל של פונקציה עם הצבה פשוטה: נגדיר u = x^2 - x. אז du/dx = 2x - 1. משמעות הדבר ש-(2x - 1) dx = du. האינטגרל הופך להיות אינטגרל של e^u du, שהוא e^u + C. נציב חזרה u = x^2 - x.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.