וידאו · פתרונות של בגרויות
חורף 2016 שאלון 806 581 פתרון שאלה 3
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- פתרון שאלה העוסקת בחישוב הסתברויות במשחק מזל החוזר 5 פעמים, כולל חשבון הסתברויות לזכייה באירועים שונים ושימוש במשלים.
- לנתח סיטואציה הסתברותית של משחק מזל החוזר מספר פעמים
- להשתמש בחוקי ההסתברות ובמשלים על מנת לחשב הסתברויות מורכבות
- לנסח נוסחאות הסתברות ולהבין חיתוך ואיחוד בין אירועים
- לפשט משוואות הסתברות ולהסיק מסקנות
- הצגת הבעיה: הבעיה עוסקת במשחק מזל שמתבצע 5 פעמים, ומחשבים בו הסתברויות לזכייה בפרסים שונים.
- מושגים מרכזיים והנחות: ההסתברויות מסומנות ב-X, Y, Z כאשר Y מתאר סיכוי לזכות ב-50, Z סיכוי לא לזכות בכלל, ועוד תנאים סימטריים וחישובים בסדרות שחוזרות על עצמן.
- חישוב הסתברויות ספציפיות: חישוב ההסתברות לזכות פעמיים ב-50 תוך 5 ניסויים, חישוב הסתברות לא לזכות בכלל, וחישוב הסתברות לזכות בדיוק ב-100 לאחר שני משחקים.
- שימוש בקטעים משלים והסתברויות מותנות: חלק מהחישובים מבוססים על חיתוך אירועים והנחות שזוכה ב-100 מבלי לזכות ב-50, ובניית יחס הסתברויות בתוך מפלג המכנה.
תרגול קצר
חישוב הסתברות לזכות פעמיים ב-50 מתוך 5 משחקים
רמת קושי: קל
משחק מזל מתבצע 5 פעמים. ההסתברות לזכות 50 שקלים בכל משחק היא Y. חישבו את ההסתברות לזכות בדיוק פעמיים ב-50 במהלך 5 המשחקים.
רמז: השתמשו בנוסחת ההסתברות לאירוע מדויק עם חזרות: הסיכוי לזכות שניים הוא Y בריבוע, לא לזכות שלוש פעמים זה 1 מינוס Y בשלישית.
פתרון מלא
תשובה סופית: Y^2 * (1 - Y)^3
ההסתברות המדויקת היא Y^2 כפול (1-Y)^3.
חשבו את Y בהינתן שההסתברות לזכות ב-50 פעמיים היא 0.2
רמת קושי: בינוני
בהינתן שמשחק מזל חוזר 5 פעמים, וההסתברות לזכות בדיוק פעמיים ב-50 שקלים היא 0.2, חשבו את ערך Y ההסתברות לזכות ב-50 בכל משחק.
רמז: נסו להציג משוואה ופתרו עבור Y בעזרת כמה ניחושים או כל דרך אלגברית.
פתרון מלא
תשובה סופית: Y=1/5
מכיוון שההסתברות היא Y^2 * (1 - Y)^3 = 0.2, אחרי פישוט יצא Y=0.2, כלומר 1/5.
הסתברות לזכות ב-100 שקלים בדיוק אחרי שני משחקים
רמת קושי: מאתגר
דן שיחק שני משחקים וזכה בדיוק 100 שקלים. ההסתברות היא סכום של הרצפים בהם זכה 100 ואפס או אפס ו-100. חשבו את ההסתברות הזו.
רמז: חשבו את ההסתברות לכל האפשרויות בלי לזכות ב-50.
פתרון מלא
תשובה סופית: P = הסתברויות של (100,0) ו-(0,100) ללא זכייה ב-50
ההסתברות היא P(זכה 100 ואפס) + P(אפס וזכה 100), כשההסתברות לזכות ב-100 בכל משחק קשורה לברירת האפשרויות ומתן יחס של מכנה ומונה המתארים את הקיום של אירועים אלו.
דרך הפתרון
פתרון שאלה בחישוב הסתברות במשחק מזל
חישוב ההסתברות לזכות פעמיים ב-50 מתוך 5 ניסויים
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ההסתברות לזכות בדיוק פעמיים ב-50 ב-5 המשחקים
- נתון 1
משחק מזל חוזר 5 פעמים
- נתון 2
ההסתברות לזכות 50 שקלים במשחק אחד היא Y
- רעיון
הרעיון המרכזי
לחשב את ההסתברות באמצעות נוסחה של אירועים מדויקים עם חזרות והסתברויות עצמאיות.
- נוסחה
ההסתברות לזכות בדיוק פעמיים מתוך 5 היא Y בריבוע כפול (1 מינוס Y) בחזקת
Y^2(1 - Y)^3Y^2 * (1 - Y)^3Y^(2)(1 - Y)^(3) - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
יש צורך בפישוט וחישוב מספרי לפי ערך Y שניתן או שמחפשים.
יש צורך בפישוט וחישוב מספרי לפי ערך Y שניתן או שמחפשים.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
ההסתברות המדויקת לזכות פעמיים ב-50 היא הביטוי Y^2*(1-Y)^3.
Y^2 * (1 - Y)^3
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתוני הבעיה
זיהוי נתונים
נתוני הבעיה
מה עושים
המשחק מתקיים 5 פעמים, ההסתברות לזכות ב-50 בכל משחק היא Y.
למה
כדי להגדיר את הנתונים לצורך חישוב הסתברויות.
2בחירת שיטה
הגדרת אירוע הזכייה פעמיים
בחירת שיטה
הגדרת אירוע הזכייה פעמיים
מה עושים
נסמן את ההסתברות לזכות ב-50 כפעם כלשהי ב-Y.
למה
כדי לבצע חישוב הסתברותי מדויק על מספר זכיות.
3בניית משוואה
כתיבת נוסחת ההסתברות
בניית משוואה
כתיבת נוסחת ההסתברות
מה עושים
ההסתברות לזכות בדיוק פעמיים מתוך 5 היא Y בריבוע כפול (1 מינוס Y) בחזקת 3.
למה
זו נוסחת אירוע מדויק עם חזרות (binomial like).
נוסחה / הצבה
Y^2(1 - Y)^3Y^2 * (1 - Y)^3Y^(2)(1 - Y)^(3)שימו לב שמעורב ביטוי הכולל חזקות ואחרי פישוט.
4פתרון
פישוט ומה עוזר
פתרון
פישוט ומה עוזר
מה עושים
יש צורך בפישוט וחישוב מספרי לפי ערך Y שניתן או שמחפשים.
למה
כדי לקבל תוצאה מספרית של ההסתברות.
אם רוצים, ניתן להכניס ערך Y ספציפי כדי לקבל תוצאה מספרית.
5תשובה
התוצאה הסופית
תשובה
התוצאה הסופית
מה עושים
ההסתברות המדויקת לזכות פעמיים ב-50 היא הביטוי Y^2*(1-Y)^3.
למה
זו התוצאה הסופית של ההסתברות המבוקשת.
נוסחה / הצבה
Y^2 * (1 - Y)^3הביטוי מהווה נוסחה קלאסית לחישוב הסתברויות זיהוי בדיוק k פעמים.
פתרונות כלליים
- חישוב הסתברות לזכות פעמיים ב-50 מתוך 5 משחקים: ההסתברות המדויקת היא Y^2 כפול (1-Y)^3.
- חשבו את Y בהינתן שההסתברות לזכות ב-50 פעמיים היא 0.2: מכיוון שההסתברות היא Y^2 * (1 - Y)^3 = 0.2, אחרי פישוט יצא Y=0.2, כלומר 1/5.
- הסתברות לזכות ב-100 שקלים בדיוק אחרי שני משחקים: ההסתברות היא P(זכה 100 ואפס) + P(אפס וזכה 100), כשההסתברות לזכות ב-100 בכל משחק קשורה לברירת האפשרויות ומתן יחס של מכנה ומונה המתארים את הקיום של אירועים אלו.