וידאו · פתרונות של בגרויות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
קיץ 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 6 מועד א
קיץ 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 1 מועד ב
קיץ 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 2 מועד ב
חורף 2016 שאלון 806 581 פתרון שאלה 1
חורף 2016 שאלון 806 581 פתרון שאלה 2
חורף 2016 שאלון 806 581 פתרון שאלה 3
חישוב יחס הסדרה Q
רמת קושי: קל
תינתן סדרה הנדסית עולה שבה הפרש בין A4 ל-A3 גדול פי 4 מההפרש בין A2 ל-A1. מצא את יחס Q בסדרה.
רמז: השתמש במשוואה המתארת את ההפרשים בין איברים בסדרה על פי הגדרת הסדרה ההנדסית.
תשובה סופית: Q = 2
נניח שהסדרה היא A1, A2 = A1*Q, A3 = A1*Q^2, A4 = A1*Q^3. הפרש בין A4 ל-A3 הוא A1*Q^3 - A1*Q^2 = A1*Q^2(Q - 1). הפרש בין A2 ל-A1 הוא A1*Q - A1 = A1(Q - 1). לפי הנתון: הפרש ראשון = 4 * הפרש שני => A1*Q^2(Q - 1) = 4 * A1(Q - 1). אם A1 ≠ 0 ו-Q ≠ 1, נחלק ב-A1(Q - 1) ונקבל Q^2 = 4 ⇒ Q = ±2. מאחר והסדרה עולה, Q = 2.
חישוב איברי הסדרה ומספר האיברים
רמת קושי: בינוני
נתונה סדרה הנדסית מעלה עם יחס Q=2, באיבר הראשון A1=1. ידוע כי האיבר השישי גדול ב-31 מהאיבר הראשון. חשב את מספר האיברים בסדרה.
רמז: השתמש בנוסחה של איבר כללי ובהפרש בין האיבר השישי לראשון, ואז בר השוואה בין N לבין מספר האיברים.
תשובה סופית: מספר האיברים בסדרה הוא 6
נוסחת האיבר n בסדרה היא A_n = A_1*Q^(n-1). האיבר השישי הוא A_6 = 1*2^(6-1) = 2^5 = 32. הפרש בין A_6 ל-A_1 הוא 32 - 1 = 31 שהותאם לנתון. נמצא כי N-1 = 6-1 ⇒ N=6 כלומר יש 6 איברים בסדרה.
בדיקת טבעה של סדרה הנובעת מסדרה הנדסית
רמת קושי: מאתגר
מהסדרה הנדסית המקורית עם יחס Q=2 נבנו שתי סדרות נוספות לפי: 1) מכפלה של A_n ו-A_{n+1} 2) סכום החלקים A_{n+1}/A_n + A_{n+2}/A_{n+1}. האם שתי הסדרות הנוספות הן סדרות הנדסיות עולות? הסבר.
רמז: חשב את היחס בין איברים סמוכים בכל אחת מהסדרות החדשות.
תשובה סופית: הסדרה הראשונה היא סדרה הנדסית עולה עם יחס 4. הסדרה השנייה איננה סדרה הנדסית אלא סדרה קבועה (2Q=4).
לסדרה הראשונה: נחשב את היחס בין איבר n+1 לאיבר n: (A_{n+1}*A_{n+2}) / (A_n*A_{n+1}) = A_{n+2} / A_n = Q^2 = 4. כלומר הסדרה ההנדסית עם יחס 4. לסדרה השנייה: האיבר הוא A_{n+1}/A_n + A_{n+2}/A_{n+1} = Q + Q = 2Q = 4. כל האיברים שווים, אך יחס בין איברים סמוכים הוא 1 כי כל איבר זהה, כלומר היא איננה סדרה הנדסית בעליה אלא קבועה (למעשה סדרה קבועה עולה).
שאלה 2 ממבחן חורף 2016
רמת קושי: בגרות
בהינתן סדרה הנדסית עולה עם A1 ו-Q, ידוע כי הפרש בין האיבר הרביעי לשלישי הוא פי 4 מההפרש בין האיבר השני לראשון, והאיבר השישי גדול ב-31 מהאיבר הראשון. חשב את הערכים של A1 ו-Q, ואת מספר האיברים בסדרה.
רמז: נוסח משוואות קישור בין האיברים לפי הנתונים, פתר משוואה ריבועית ל-Q והשתמש בנוסחה של האיבר n לחישוב A1.
תשובה סופית: A1=1, Q=2, מספר האיברים 6
מהגדרת הפרשים: A1*Q^3 - A1*Q^2 = 4*(A1*Q - A1) ⇒ A1*Q^2(Q - 1) = 4*A1(Q - 1). מתבטלים A1 ו-(Q-1), מתקבל Q^2=4 ⇒ Q=2 (מאחר ו-Q>1). מהנתון השני: A6 = A1*Q^5 = A1 + 31 ⇒ A1*32 = A1 +31 ⇒ 31 A1 =31 ⇒ A1=1. מכיוון ש-A6 הוא האיבר השישי, יש לפחות 6 איברים בסדרה. ניתן להניח שיש 6 איברים.
זיהוי יחס סדרה הנדסית וחישוב איברים
(A4 - A3) = 4 * (A2 - A1)A6 = A1 + 31נשתמש בהגדרת הסדרה ההנדסית לחישוב Q באמצעות יחס ההפרשים, ואז נמצא A1 מהשוויון של האיבר השישי,
A1 * Q^3 - A1 * Q^2 = 4 * (A1 * Q - A1)A1*Q^3 - A1*Q^2 = 4*(A1*Q - A1)A_1 Q^3 - A_1 Q^2 = 4 (A_1 Q - A_1)מבצעים חישוב אלגברי לפישוט המשוואה ומבודדים את Q.
Q^2 = 4Q^(2) = 4משתמשים בנוסחת איבר כללי ומציבים את Q כדי למצוא את A1.
A1 * 2^5 = A1 + 31A_1 * 2^(5) = A_1 + 31השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
נרשום את ההפרשים בין איברי הסדרה ונשווה בהתאם לנתון.
למה
על פי הנתון הראשון, ההפרש בין A4 ל-A3 הוא פי 4 מההפרש בין A2 ל-A1.
A4 - A3 ו- A2 - A1 מוגדרים בעזרת A1 ו-Q כאיברי סדרה הנדסית.
נוסחה / הצבה
A1 * Q^3 - A1 * Q^2 = 4 * (A1 * Q - A1)A1*Q^3 - A1*Q^2 = 4*(A1*Q - A1)A_1 Q^3 - A_1 Q^2 = 4 (A_1 Q - A_1)נצא מהנחה ש-A1 ואינו שווה 0 וש-Q אינו שווה 1.
בניית משוואה
מה עושים
מבצעים חישוב אלגברי לפישוט המשוואה ומבודדים את Q.
למה
חישוב Q הוא המפתח להבנת הסדרה והמשך פתרון השאלה.
מחלקים ב-A1 ו-(Q-1) ומקבלים Q^2=4.
נוסחה / הצבה
Q^2 = 4Q^(2) = 4מכיוון שהסדרה עולה, נבחר Q=2.
בניית משוואה
מה עושים
משתמשים בנוסחת איבר כללי ומציבים את Q כדי למצוא את A1.
למה
הנתון השני נותן קשר בין האיבר השישי לראשון, מאפשר פתרון נומינלי ל-A1.
A1 * Q^5 = A1 + 31
נוסחה / הצבה
A1 * 2^5 = A1 + 31A_1 * 2^(5) = A_1 + 31A_1 x 2^(5) = A_1 + 312^5 = 32, לכן משוואה נוצרת לפישוט.
פתרון
מה עושים
מבודדים את A1 ומחשבים ערכו.
למה
קבלת ערך מספרי ל-A1 נחוצה לסיום התרגיל.
32 A1 - A1 = 31, מסקנה A1 = 1.
נוסחה / הצבה
31 * A1 = 3131 A_1 = 31מחלקים ב-31.
פתרון
מה עושים
בודקים מהו N לפי הנתון של האיבר השישי.
למה
לפי האיבר האחרון שקבענו ניתן לחשב את מספר האיברים בסדרה.
מכיוון A6 מחושב, מספר האיברים הוא לפחות 6.
נוסחה / הצבה
N = 6N=6במקרה הנתון, יש 6 איברים בסדרה.