וידאו · חזרות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ב1. חזרות פתרון שאלה מישוואה מיוחדת בטריגו
ב2. חזרות פתרון שאלה בעיית קיצון דרך אלגברית
ב3. חזרות פתרון שאלה בעיית קיצון דרך טריגונומטרית
ב4. חזרות פתרון שאלה בעיית קיצון
ב5. חזרות בעיית תנועה
ב6. חזרות בעיית תנועה
ג1. חזרות בעיית תנועה
ג2. חזרות בעיית תנועה
ד1. חזרות בעיית קיצון
ד5. חזרות סדרות
פתור פונקציה טריגונומטרית למקסימום
רמת קושי: קל
נתונה פונקציית מטרה תלויה בזווית אלפא: T = 2R^2 cos Alpha + R^2 sin Alpha. חשב את הזווית אלפא שגורמת לערך הקיצון של הפונקציה.
רמז: השתמש בנגזרת של הפונקציה לפי אלפא, ואפס את הנגזרת למציאת נקודות קיצון.
תשובה סופית: Alpha ≈ 26.565 מעלות
נכתוב את הפונקציה T = 2R^2 cos Alpha + R^2 sin Alpha נגזור את T ביחס ל-Alpha: dT/dAlpha = -2R^2 sin Alpha + R^2 cos Alpha נחפש נקודות שבהן הנגזרת שווה לאפס: -2R^2 sin Alpha + R^2 cos Alpha = 0 נחלק ב-R^2 (שאינו אפס): -2 sin Alpha + cos Alpha = 0 נעביר ונכפיל ב-1: cos Alpha = 2 sin Alpha נחלק ב-cos Alpha (בהנחה שcos Alpha לא אפס): 1 = 2 tan Alpha tan Alpha = 1/2 Alpha = arctan(1/2) ≈ 26.565 מעלות
פתרון משוואה טריגונומטרית עם זוויות כפולות
רמת קושי: בינוני
פתור את המשוואה: cos 2Alpha = sin Alpha עבור Alpha בין 0 ל-360 מעלות.
רמז: השתמש בזהות קוסינוס זווית כפולה וכתב cos 2Alpha בזהויות מתאימות.
תשובה סופית: Alpha = 30°, 150°, 270°
נציב את זהות קוסינוס הזווית הכפולה: cos 2Alpha = 1 - 2 sin^2 Alpha אז המשוואה היא: 1 - 2 sin^2 Alpha = sin Alpha נעביר את כל האיברים לצד אחד: 2 sin^2 Alpha + sin Alpha -1 = 0 נסמן t = sin Alpha ונקבל משוואה ריבועית: 2 t^2 + t -1 = 0 נפתור את המשוואה: t = [-1 ± sqrt(1^2 -4*2*(-1))]/(2*2) = [-1 ± sqrt(1+8)]/4 = [-1 ± 3]/4 פתרונות: t1 = (-1+3)/4 = 2/4=0.5 t2 = (-1-3)/4 = -4/4 = -1 עבור t=0.5: Alpha = arcsin(0.5) = 30 מעלות או 150 מעלות עבור t=-1: Alpha = arcsin(-1) = 270 מעלות בדיקת פתרונות במשוואה המקורית כדי לוודא התאמה.
פתרון cos 2Alpha = sin Alpha עבור 0° ≤ Alpha ≤ 360°
cos 2Alpha = sin Alphaלהשתמש בזהויות טריגונומטריות כדי להמיר את cos 2Alpha ולפתור משוואה ריבועית בסינוס אלפא.
2 sin^2 Alpha + sin Alpha - 1 = 02 ^(2) + - 1 = 0המשוואה cos 2Alpha = sin Alpha נתונה.
נסמן t = sin Alpha ונפתור: 2 t^2 + t - 1 = 0.
2 t^2 + t - 1 = 02 t^(2) + t - 1 = 0t = [-1 ± sqrt(1+8)]/4 = (2/4, -4/4) = (0.5, -1).
t = (-1 ± 3) /4t = [-1 ± 3] / 4השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
המשוואה cos 2Alpha = sin Alpha נתונה.
למה
זו נקודת הפתיחה לפתרון.
יש להשתמש במשוואה זו כדי למצוא את הזוויות Alpha.
בחירת שיטה
מה עושים
נשתמש בזהות cos 2Alpha = 1 - 2 sin^2 Alpha.
למה
כדי להמיר את הביטוי לפונקציה של sin Alpha בלבד.
שימוש בזהות מפשט להמשוואה משולבת עם sin Alpha.
נוסחה / הצבה
cos 2Alpha = 1 - 2 sin^2 Alpha2 = 1 - 2 ^(2)זהות חשובה לפישוט ביטויים.
בניית משוואה
מה עושים
נציב ונקבל: 1 - 2 sin^2 Alpha = sin Alpha.
למה
כעת ניתן לעבור למשוואה ריבועית ב-sin Alpha.
המשוואה מוכנה להעתקה בצורת ריבועית.
נוסחה / הצבה
1 - 2 sin^2 Alpha = sin Alpha1 - 2 ^(2) =פתרון
מה עושים
נעביר את כל האיברים לצד אחד: 2 sin^2 Alpha + sin Alpha - 1 = 0.
למה
ליצירת משוואה ריבועית סטנדרטית ב-sin Alpha.
משוואה לפתרון מעל sin Alpha.
נוסחה / הצבה
2 sin^2 Alpha + sin Alpha - 1 = 02 ^(2) + - 1 = 0הכן לפתרון משוואת ריבועים.
פתרון
מה עושים
נסמן t = sin Alpha ונפתור: 2 t^2 + t - 1 = 0.
למה
החלפת משתנה מסייעת בפתרון פשוט.
יישום נוסחת השורשים לפתרון המשוואה.
נוסחה / הצבה
2 t^2 + t - 1 = 02 t^(2) + t - 1 = 0שימוש בנוסחה הריבועית.
פתרון
מה עושים
t = [-1 ± sqrt(1+8)]/4 = (2/4, -4/4) = (0.5, -1).
למה
מספקים שני ערכים אפשריים עבור sin Alpha.
השורשים להמשך בחינת זוויות Alpha.
נוסחה / הצבה
t = (-1 ± 3) /4t = [-1 ± 3] / 4t = (-1 3)/(4)