וידאו · חזרות
ד1. חזרות בעיית קיצון
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק בפתרון בעיה מסוג קיצון, המערבת חישוב מינימום ומקסימום שטח במשולש עם נתונים גאומטריים, תוך שימוש בחקירת פונקציה בתחום מוגדר ויישום נגזרות.
- להבין כיצד להגדיר פונקציית מטרה בתחום מוגבל
- לחשב נקודות קיצון של פונקציה
- לזהות את תחום הקיום של הבעיה והקשר להשגת מינימום ומקסימום
- לבצע חקירת פונקציה ולשרטט את הפונקציה להסקת מסקנות
- ליישם את משפט פיתגורס במשולש על מנת לבנות פונקציה מתמטית המתארת שטח
- הגדרת הבעיה: הוגדר משולש עם נקודה E ומידות שונות, כאשר השאלה היא למצוא את הערך של המשתנה B (מסומן כ-X) שבו שטח המשולש DC הוא מינימלי או מקסימלי.
- בניית פונקציית המטרה: באמצעות משפט פיתגורס בנינו את פונקציית השטח כפונקציה של X, וחישבנו את תחום ההגדרה שלה.
- חקירת פונקציה ומסקנות: גזרנו את פונקציית השטח, זיהינו נקודות קיצון והערכנו את ערכי השטח בתחומים השונים ובקצוות התחום.
תרגול קצר
מינימום ומקסימום של שטח משולש
רמת קושי: קל
נתון משולש ששטחו תלוי במשתנה X בתחום 0<=X<=A. פונקציית השטח היא S = 0.5 * (X^2 + (A - X)^2). מצא את ערכי X שבהם מתקבלות נקודות המינימום והמקסימום של השטח.
רמז: מצא את הנגזרת של פונקציית השטח, וזיהה את הערכים בתחום הנתון בהם הנגזרת שווה לאפס. בדוק גם את ערכי הקצה 0 ו-A.
פתרון מלא
תשובה סופית: מינימום: X = A/2 עם שטח 0.25 * A^2; מקסימום: X = 0 או X = A עם שטח 0.5 * A^2.
נגזור את פונקציית השטח: S' = 2X - A. נציב S' = 0 ונקבל X = A/2. בתוך התחום [0,A], הנקודות האפשריות הן X=0, X=A/2, ו-X=A. נחשב את ערכי השטח בנקודות אלו: S(0)=0.5*A^2, S(A/2)=0.25*A^2, S(A)=0.5*A^2. המינימום הוא בנקודה X=A/2, והמקסימום בקצוות.
דרך הפתרון
מינימום ומקסימום שטח משולש תלוי X
פתרון בעיית קיצון בתחום תחום מוגבל
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ערכי X שבהם מתקבל מינימום השטח / ערכי X שבהם מתקבל מקסימום השטח
- נתון 1
משולש עם ניצבים אורך X ו-A מינוס X
- נתון 2
נתון 2
שטח המשולש כפונקציה S = חצי סכום ריבועי הניצבים - נתון 3
תחום ההגדרה של X: 0 ≤ X ≤ A
- רעיון
הרעיון המרכזי
חשוב את נגזרת פונקציית השטח, מצא נקודות קיצון בתחום, בדוק את ערכי הפונקציה בקצות התחום.
- נוסחה
קבע את תחום X בין 0 ל-A וצור את פונקציית השטח S.
S = 0.5 * (X^2 + (A - X)^2)S = (1)/(2)(X^(2) + (A - X)^(2)) - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
פתור 2X - A = 0 וקבל X = A/2.
פתור 2X - A = 0 וקבל X = A/2.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדר את נתוני הבעיה
זיהוי נתונים
הגדר את נתוני הבעיה
מה עושים
קבע את תחום X בין 0 ל-A וצור את פונקציית השטח S.
למה
חשוב להבין את התחום שבו יש להגדיר את הפונקציה ולזהות את המשתנה התלוי.
נתון תחום ההגדרה והקשר בין האורכים במשולש.
נוסחה / הצבה
S = 0.5 * (X^2 + (A - X)^2)S = (1)/(2)(X^(2) + (A - X)^(2))שים לב שכל הביטויים הם פונקציה של X היחיד.
2בחירת שיטה
חשב את הנגזרת של פונקציית השטח
בחירת שיטה
חשב את הנגזרת של פונקציית השטח
מה עושים
חשב נגזרת של S לפי X כדי למצוא נקודות קיצון.
למה
נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן מועמדות לנקודות מינימום או מקסימום.
נגזרת פונקציית השטח היא כלי למציאת נקודות קיצון.
נוסחה / הצבה
S' = 2X - Aנגזרת פונקציה ריבועית פשוטה.
3פתרון
מצא נקודת קיצון בתחום
פתרון
מצא נקודת קיצון בתחום
מה עושים
פתור 2X - A = 0 וקבל X = A/2.
למה
זו נקודת קיצון אפשרית בתוך תחום ההגדרה.
מציאת נקודת הקיצון במשוואת הנגזרת.
וודא שהפתרון שייך לתחום הנתון.
4פתרון
חשב ערכי השטח בנקודות החשובות
פתרון
חשב ערכי השטח בנקודות החשובות
מה עושים
חשב את S ב-X=0, X=A/2 ו-X=A.
למה
בדיקת ערכי הפונקציה בקצה התחום ובנקודת הקיצון.
השוואת ערכי השטח בנקודות אלה מאפשרת לזהות מינימום ומקסימום.
נוסחה / הצבה
S(0) = 0.5 * A^2S(A/2) = 0.25 * A^2S(A) = 0.5 * A^2S(0)=0.5*A^2, S(A/2)=0.25*A^2, S(A)=0.5*A^2המינימום הוא הערך הנמוך ביותר מבין אלו.
5תשובה
זיהוי מינימום ומקסימום
תשובה
זיהוי מינימום ומקסימום
מה עושים
המינימום מופיע ב-X = A/2 והמקסימום בקצוות X=0 ו-X=A.
למה
הערכים בולטים בהתאם למיקום תחום ההגדרה והנגזרת.
כן, זה מראה על מינימום פנימי ומקסימום בגבולות התחום.
תמיד בדוק גם את קצות התחום.
פתרונות כלליים
- מינימום ומקסימום של שטח משולש: נגזור את פונקציית השטח: S' = 2X - A. נציב S' = 0 ונקבל X = A/2. בתוך התחום [0,A], הנקודות האפשריות הן X=0, X=A/2, ו-X=A. נחשב את ערכי השטח בנקודות אלו: S(0)=0.5*A^2, S(A/2)=0.25*A^2, S(A)=0.5*A^2. המינימום הוא בנקודה X=A/2, והמקסימום בקצוות.