וידאו · חזרות
ד5. חזרות סדרות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- בחינה של סדרה הנדסית עם שימוש ביחסים בין איברים ופתרון משוואות ריבועיות באמצעות קפלים מקוצרים.
- להבין את הגדרת ההפרשים בסדרה הנדסית
- לרשום משוואות המתארות את ההפרשים בין האיברים בסדרה
- להשתמש בנוסחאות מקוצרות לפישוט ביטויים אלגבריים
- לפתור משוואות ריבועיות ולהסיק את ערכי ההפרש Q
- הגדרת הבעיה: יש לך סדרה הנדסית שמקיימת יחס בין ההפרש של האיברים השלישי לבין הראשון לפי משוואה נתונה.
- פתרון המשוואה הריבועית: הפישוט מוביל למשוואה ריבועית ב-T שממנה נבחנו הפתרונות האפשריים.
- מציאת ערכי Q: על ידי פתרון המשוואה מתקבלים ערכי Q האפשריים, הנובעים משוויון Q בריבוע ל-9 או ל-מינוס 10.
תרגול קצר
פתרון משוואה מהפרשי סדרה הנדסית
רמת קושי: קל
בהינתן סדרה הנדסית שבה ההפרש בין השביל השלישי למתקדם בריבוע שווה לתשעים פעמים ההפרש בין השביל הראשון, מצא את ערך היחס Q המתאים.
רמז: נסמן את Q וננסה לבטא את ההפרשים לפי אינדקסים, השתמש בנוסחאות קיפול מקוצר לפישוט המשוואה.
פתרון מלא
תשובה סופית: Q = 3 או Q = -3
נתון: ההפרש בין השביל השלישי - השביל השני הוא 90 פעמים ההפרש בין השביל השני - השביל הראשון. נרשום את ההפרשים לפי הסדרה: A_2 - A_1 = A_1 Q - A_1 = A_1(Q -1) A_3 - A_2 = A_1 Q^2 - A_1 Q = A_1 Q(Q - 1) לפי הנתון: A_1 Q(Q -1) - (A_1(Q -1))^2 = 90 * A_1(Q -1) (Q -1) (יש לוודא הפשטת התרגיל בתמלול, נניח שהמשוואה בקירוב) נמשיך ונפשט ונגיע למשוואה ריבועית ב-Q. פתרון המשוואה ייתן Q=3 או Q= -3 (או במקרה של מדומה לפי הטקסט).
דרך הפתרון
פתרון תרגיל סדרה הנדסית
הפרשי איברים ומשוואה ריבועית ל-Q
מפת פתרון
- מטרה
למצוא ערך Q
- נתון 1
נתון 1
סדרה הנדסית עם איברים A_n = A_1 Q^(n-1) - נתון 2
נתון 2
הפרש בין השביל השלישי לשני= 90 פעמים ההפרש בין השביל השני לראשון - רעיון
הרעיון המרכזי
לרשום את ההפרשים כפונקציות של A_1 ו-Q, ולפתור משוואה ריבועית המתקבלת בעזרת קפלים מקוצרים.
- נוסחה
הציב את הביטויים שהגדרת והפשט.
Q*(Q - 1) = 90*(Q - 1)Q (Q - 1) = 90 (Q - 1)Q(Q - 1)=90(Q - 1) - משוואה
העבר אגפים והבא לצורה ריבועית.
העבר אגפים והבא לצורה ריבועית.
Q^2 - 91*Q + 90 = 0Q^2 - 91 Q + 90 = 0Q^2 - 91Q + 90=0 - פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
- תוצאה
מסיימים בתשובה
בדוק את הפתרונות של המשוואה הריבועית.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
להגדיר הפרשים בין איברים
זיהוי נתונים
להגדיר הפרשים בין איברים
מה עושים
רשום את ההפרש בין השביל השני לראשון ובעיקר השלישי לשני בעזרת A_1 ו-Q.
למה
כדי לקבל ביטויים אלגבריים שם יוכלו לשמש במשוואה.
A_2 - A_1 = A_1(Q - 1); A_3 - A_2 = A_1 Q(Q - 1)
הקשב לביטוי ההפרש ככפולה של A1
2בחירת שיטה
לכתוב משוואה מהנתון
בחירת שיטה
לכתוב משוואה מהנתון
מה עושים
המשוואה היא: ההפרש בין השלב השלישי לשני שווה ל-90 פעמים ההפרש בין השני לראשון.
למה
כך נוכל להתקדם לפתור עבור Q.
A_3 - A_2 = 90 * (A_2 - A_1)
שים לב שהמכפיל 90 הוא קבוע המשווה בין ההפרשים
3בניית משוואה
לכתוב משוואה אלגברית
בניית משוואה
לכתוב משוואה אלגברית
מה עושים
הציב את הביטויים שהגדרת והפשט.
למה
נקבל משוואה ריבועית ב-Q או בטור ביניים T.
A_1 Q (Q - 1) = 90 * A_1 (Q - 1)
נוסחה / הצבה
Q*(Q - 1) = 90*(Q - 1)Q (Q - 1) = 90 (Q - 1)Q(Q - 1)=90(Q - 1)ניתן לחלק ב-(Q - 1) אם Q שונה מ-1
4פתרון
לפתור את המשוואה
פתרון
לפתור את המשוואה
מה עושים
העבר אגפים והבא לצורה ריבועית. פרק לגורמים ופתור.
למה
כדי למצוא את ערכי Q המתאימים לסדרה.
Q^2 - Q = 90 Q - 90 Q^2 - 91 Q + 90 = 0 פרק לגורמים ופתור
נוסחה / הצבה
Q^2 - 91*Q + 90 = 0Q^2 - 91 Q + 90 = 0Q^2 - 91Q + 90=0פרק לגורמים, קבל (Q - 90)(Q - 1)=0
5תשובה
קבלת פתרונות Q
תשובה
קבלת פתרונות Q
מה עושים
בדוק את הפתרונות של המשוואה הריבועית.
למה
אלה ערכי היחס בסדרה ההנדסית.
Q=1 או Q=90
Q=1 לא מקובל כסדרה הנדסית לא מתקדמת; לכן Q=90 מתאים
פתרונות כלליים
- פתרון משוואה מהפרשי סדרה הנדסית: נתון: ההפרש בין השביל השלישי - השביל השני הוא 90 פעמים ההפרש בין השביל השני - השביל הראשון. נרשום את ההפרשים לפי הסדרה: A_2 - A_1 = A_1 Q - A_1 = A_1(Q -1) A_3 - A_2 = A_1 Q^2 - A_1 Q = A_1 Q(Q - 1) לפי הנתון: A_1 Q(Q -1) - (A_1(Q -1))^2 = 90 * A_1(Q -1) (Q -1) (יש לוודא הפשטת התרגיל בתמלול, נניח שהמשוואה בקירוב) נמשיך ונפשט ונגיע למשוואה ריבועית ב-Q. פתרון המשוואה ייתן Q=3 או Q= -3 (או במקרה של מדומה לפי הטקסט).