MMATH
התחברות

וידאו · חזרות

ב2. חזרות פתרון שאלה בעיית קיצון דרך אלגברית

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
וידאו

ב1. חזרות פתרון שאלה מישוואה מיוחדת בטריגו

וידאו

ב2. חזרות פתרון שאלה בעיית קיצון דרך אלגברית

וידאו

ב3. חזרות פתרון שאלה בעיית קיצון דרך טריגונומטרית

וידאו

ב4. חזרות פתרון שאלה בעיית קיצון

וידאו

ב5. חזרות בעיית תנועה

וידאו

ב6. חזרות בעיית תנועה

וידאו

ג1. חזרות בעיית תנועה

וידאו

ג2. חזרות בעיית תנועה

וידאו

ד1. חזרות בעיית קיצון

וידאו

ד5. חזרות סדרות

סיכום שיעור

  • השתמשנו בגישת קיצון אלגברית לבעיית מקסימום שטח מלבן שמושיק למעגל ברדיוס נתון.
  • להבין את מושג בעיית קיצון בהקשר של שטח מקסימלי
  • לנסח פונקציית מטרה מתמטית שמשקפת את השטח
  • להשתמש בשוויון רדיוס ומשיק לכתיבת קשרים בין משתנים
  • לגזור פונקציית מטרה ולמצוא נקודות קיצון
  • להעריך את התוצאה ולזהות אם מדובר במקסימום או מינימום
  • הצגת הבעיה: נתון מעגל ברדיוס R ומלבן שהצלע שלו נוגעת במעגל במשיק בנקודה מסוימת. מטרתנו לחשב את השטח המקסימלי של המלבן הזה.
  • הגדרת פונקציית מטרה וקשרי משתנים: הגדרנו את פונקציית השטח כפונקציה ב-X ו-Y עם תנאי שהקשר בין המשתנים נשמר על ידי משוואת המעגל.
  • חישוב נגזרות ופתרון: גזרנו את פונקציית המטרה ביחס ל-X, מצאנו נקודות קריטיות, ולאחר בדיקה הבחנו שהשטח מקסימלי בנקודה מסוימת.

תרגול קצר

מקסום שטח מלבן במעגל נתון

רמת קושי: קל

ממתין

יש מעגל ברדיוס 10 ס"מ. מצא את מידות המלבן בעל השטח המקסימלי כך שאחת מצלעותיו מושיקת למעגל.

קיצוןשטחמעגלאלגברה

רמז: נצל את משוואת המעגל לכתיבת קשר בין הצלעות, ואז הגדיר פונקציית שטח ומצא את הנגזרת ביחס לצלע אחת.

פתרון מלא

תשובה סופית: הצלעות הן X = 5√2, Y = 5√2 (בערך). השטח המקסימלי הוא 100 ס"מ רבוע.

הגדר X כצלע אחת, Y כצלע שנייה; אז R = 10. \nפונקציית השטח: שטח = 2X * Y \nמשוואת המעגל: R^2 = X^2 + Y^2 => Y = sqrt(100 - X^2).\nשטח = 2X * sqrt(100 - X^2).\nגזור את השטח ביחס ל-X, מצא נקודות ביקורת, ובדוק מקסימום.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון בעיית קיצון שטח מלבן במעגל

גיבוש והסקת השטח המקסימלי

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא מידות הצלעות X ו-Y של המלבן המקסימלי / שטח המלבן המקסימלי

  2. נתון 1

    נתון 1

    רדיוס המעגל R = 10 ס"מ
  3. רעיון

    הרעיון המרכזי

    בעזרת משוואת המעגל נמצא קשר בין הצלעות ונבטא את פונקציית השטח במשתנה אחד.

  4. נוסחה

    ננסח את פונקציית השטח של המלבן כ-שטח = 2X * Y

    שטח = 2X * Y
  5. משוואה

    נחליף את Y בביטוי מהמשוואה ונקבל שטח כפונקציה של X בלבד

    נחליף את Y בביטוי מהמשוואה ונקבל שטח כפונקציה של X בלבד

    שטח(X) = 2X * sqrt(R^2 - X^2)
  6. פישוט

    גוזרים את השטח ביחס ל-X, שווים לאפס ומפתרים את המשוואה

    גוזרים את השטח ביחס ל-X, שווים לאפס ומפתרים את המשוואה

    נגזרת של שטח ביחס ל-X = 0
  7. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    מוצאים את ערך X, מחשבים Y ומחשבים את השטח המקסימלי

    X = 5√2, Y = 5√2, שטח = 100
  8. בדיקה

    בדיקה קצרה

    • הבנת הקשר בין הצלעות באמצעות משוואת המעגל
    • כתיבת פונקציית השטח כמשתנה יחיד
    • זהירות: שכיחת הצבת ביטוי Y במשוואת השטח לפני הגזירה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת המשתנים והנתונים

מה עושים

נסמן את צלעות המלבן כ-X ו-Y כאשר אחת מהצלעות מושיקה למעגל

למה

כדי לנסח את פונקציית השטח בפונקציה של X ו-Y

2

בחירת שיטה

קשר בין X ו-Y ממעגל

מה עושים

מוסיפים את המשוואה R בריבוע = X בריבוע + Y בריבוע

למה

קשר זה מאפשר ביטוי Y באמצעות X ורדיוס המעגל

נוסחה / הצבה

R^2 = X^2 + Y^2

להעריך את Y כשורש של R בריבוע מינוס X בריבוע

3

בניית משוואה

הגדרת פונקציית השטח

מה עושים

ננסח את פונקציית השטח של המלבן כ-שטח = 2X * Y

למה

פונקציית המטרה שאותה נרצה למקסם

נוסחה / הצבה

שטח = 2X * Y
4

בניית משוואה

הביטוי הסופי לפונקציית השטח

מה עושים

נחליף את Y בביטוי מהמשוואה ונקבל שטח כפונקציה של X בלבד

למה

מאפשר גזירה ומציאת נקודת קיצון

נוסחה / הצבה

שטח(X) = 2X * sqrt(R^2 - X^2)
5

פתרון

גזירת פונקציית השטח ומציאת נקודת קיצון

מה עושים

גוזרים את השטח ביחס ל-X, שווים לאפס ומפתרים את המשוואה

למה

כדי למצוא ערך X שבו השטח מקסימלי

נוסחה / הצבה

נגזרת של שטח ביחס ל-X = 0

להשתמש בכלל המכפלה וכלל השרשרת

6

תשובה

חישוב הערכים והסקת התוצאה

מה עושים

מוצאים את ערך X, מחשבים Y ומחשבים את השטח המקסימלי

למה

קבלת התוצאה הסופית של בעיית הקיצון

נוסחה / הצבה

X = 5√2, Y = 5√2, שטח = 100

פתרונות כלליים

  • מקסום שטח מלבן במעגל נתון: הגדר X כצלע אחת, Y כצלע שנייה; אז R = 10. \nפונקציית השטח: שטח = 2X * Y \nמשוואת המעגל: R^2 = X^2 + Y^2 => Y = sqrt(100 - X^2).\nשטח = 2X * sqrt(100 - X^2).\nגזור את השטח ביחס ל-X, מצא נקודות ביקורת, ובדוק מקסימום.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.