הסבר על תחום הגדרה של פונקציה המכילה שורשים ולמונינו במכנה, כגון שורש במכנה ושימוש באי-שוויונות להגדרת התחום בפונקציה עם שורש של ביטוי רציונלי. התמקדות בחשיבות תנאי התחום והשפעתם על הציור במערכת הצירים.
לזהות את תחום ההגדרה של פונקציה עם שורשים ומכנים
להבין כש ואיך נדרש ביטוי להיות גדול מ-0 או גדול שווה 0
להשתמש בפתרון אי-שוויונות במונה ובמכנה להסקת תחום הגדרה
להבחין בין מתי להשתמש באי-שוויון גדול מ-0 או גדול שווה 0
להבין השפעת התחום על מערכת הצירים והנקודות שבהן הפונקציה אינה מוגדרת
אי-שוויון של ריבוע ומקורות טעויות: הסבר מדוע לא נכון לכתוב ש-X בריבוע גדול שווה 0 כ-X גדול שווה 0, כי גם ערכים שליליים נותנים ערך חיובי בביטוי ריבועי.
תחום הגדרה במקרים של שורשים במכנה: כאשר הביטוי תחת שורש מצוי במכנה, נדרש להגדיר את התחום כך שהביטוי תחת השורש יהיה חיובי בלבד (גדול מ-0) ולא כולל 0, כדי למנוע חילוק ב-0.
פתרון תחום הגדרה בעזרת מונה ומכנה: הצבת נקודות קריטיות על ציר ה-X לפי מתי המונה שווה 0 והמכנה שונה מ-0, ודגשים על צורת הפתרון ואי כפילה של שבר כאשר המכנה לא ידוע כסימן חיובי או שלילי.

תרגול קצר

מציאת תחום ההגדרה של פונקציה עם שורש במונה ומכנה

רמת קושי: קל

ממתין

מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה: f(x)= שורש של (x-2) חלקי (5-x)

תחום הגדרהשורשאי-שוויוןמכנה

רמז: עליך להגדיר את הביטוי תחת השורש להיות גדול שווה מאפס, ולוודא שמכנה אינו אפס ולכן הביטוי במכנה יהיה גדול מ-0 בלבד.

פתרון מלא

תשובה סופית: x גדול שווה 2 וקטן מ-5

ראשית נגדיר את הביטוי תחת השורש (x-2)/(5-x) >= 0. המונה x-2 שווה לאפס ב-x=2 והמכנה 5-x שווה לאפס ב-x=5. מפענחים את אי-השוויון ומציבים את הנקודות 2 ו-5 על ציר המספרים. מבודדים תחומים ומחליטים איפה האי-שוויון נכון, תוך התחשבות שמכנה לא יכול להיות אפס ונקודת 5 אינה כלולה. התשובה הסופית היא תחום ההגדרה: [2,5)

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מפת פתרון: תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) = שורש של (x-2) חלקי (5-x)

זיהוי תחום ההגדרה לפונקציה עם שורש במונה ומכנה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא תחום ההגדרה של הפונקציה
נתון 1
הפונקציה: שורש של (x-2) חלקי (5-x)
רעיון
הרעיון המרכזי
לפתור את אי-ההשוואה שהביטוי תחת השורש במנה יהיה גדול שווה מאפס, ובמכנה גדול מאפס.
נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
משוואה
משרטטים את תחומי המספרים לפי נקודות 2 ו-5
משרטטים את תחומי המספרים לפי נקודות 2 ו-5
פישוט
מבחינים תחומים בהם הביטוי חיובי או אפס
מבחינים תחומים בהם הביטוי חיובי או אפס
תוצאה
מסיימים בתשובה
תחום ההגדרה הוא x גדול שווה 2 וקטן מ-5
בדיקה
בדיקה קצרה
- הבנת ההבדל בין אי-שוויון גדול מ-0 וגדול שווה 0
- זיהוי נקודות המונה והמכנה השוות ל-0
- זהירות: כתיבה שגויה של תחום ההגדרה כ-x גדול שווה 0 במקום לתאר את הביטוי בריבוע

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הביטוי במונה ומכנה

מה עושים

הביטוי תחת השורש הוא (x-2)/(5-x)

למה

קטע זה הוא הקריטריוני להגדרת הפונקציה במתמטיקה

הפונקציה מוגדרת כאשר הביטוי תחת השורש במכנה תקין

זיהוי נתונים

נקודות קריטיות

מה עושים

המונה שווה לאפס ב-x=2 והמכנה שווה לאפס ב-x=5

למה

נקודות אלו מחלקות את ציר המספרים לאזורים

יש לבדוק את סימן הביטוי בכל תחום בין נקודות אלה

בחירת שיטה

פתירת אי-שוויון

מה עושים

נפתור את האי-שוויון (x-2)/(5-x) >= 0

למה

תחום ההגדרה הוא כל x שהאי-שוויון מתקיים בו והפונקציה מוגדרת

כולל תנאי שמכנה לא יהיה אפס ולכן x לא שווה 5

נוסחה / הצבה

(x-2) / (5-x) >= 0(x-2)/(5-x) >= 0

יש לזכור שאי-שוויון במכנה דורש בדיקה זהירה

בניית משוואה

חיתוך הציר עם נקודות 2 ו-5

מה עושים

משרטטים את תחומי המספרים לפי נקודות 2 ו-5

למה

האי-שוויון משתנה בסימנו סביב נקודות אלו

נבדוק את הסימן בכל תחום: (-∞,2), (2,5), (5,∞)

פתרון

בדיקת סימני האי-שוויון

מה עושים

מבחינים תחומים בהם הביטוי חיובי או אפס

למה

הפונקציה מוגדרת רק בתחומים אלו

(x-2) חיובי או 0 כש-x >= 2, (5-x) חיובי כש-x < 5

תשובה

תחום ההגדרה הסופי

מה עושים

תחום ההגדרה הוא x גדול שווה 2 וקטן מ-5

למה

בנקודה 5 הפונקציה אינה מוגדרת ולכן לא כלול בה

כתוצאה מהבדיקות והאי-שוויון

לזכור לא לכלול נקודות שבהן המכנה שווה ל-0

פתרונות כלליים

מציאת תחום ההגדרה של פונקציה עם שורש במונה ומכנה: ראשית נגדיר את הביטוי תחת השורש (x-2)/(5-x) >= 0. המונה x-2 שווה לאפס ב-x=2 והמכנה 5-x שווה לאפס ב-x=5. מפענחים את אי-השוויון ומציבים את הנקודות 2 ו-5 על ציר המספרים. מבודדים תחומים ומחליטים איפה האי-שוויון נכון, תוך התחשבות שמכנה לא יכול להיות אפס ונקודת 5 אינה כלולה. התשובה הסופית היא תחום ההגדרה: [2,5)

הפריט הקודם הפריט הבא

ב3. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים

ניווט לפי נושאים

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא תחום ההגדרה של הפונקציה

הפונקציה: שורש של (x-2) חלקי (5-x)

הרעיון המרכזי

נכתוב ייצוג מתמטי

משרטטים את תחומי המספרים לפי נקודות 2 ו-5

מבחינים תחומים בהם הביטוי חיובי או אפס

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

הביטוי במונה ומכנה

נקודות קריטיות

פתירת אי-שוויון

חיתוך הציר עם נקודות 2 ו-5

בדיקת סימני האי-שוויון

תחום ההגדרה הסופי

פתרונות כלליים