השיעור מתמקד בשימוש במחשבון כדי לחקור תחומי הגדרה, חיתוך עם צירי מערכת הצירים וחקירה גרפית של פונקציות בשאלון 581. מודגש חשיבות חקירת נקודות חיתוך, תחום הגדרה ומעקב אחרי התנהגות הפונקציה בגבולות בתחילת תחום ההגדרה ואינסוף.
להבין כיצד להציב ערכים בפונקציה ולחלץ ערכי y
לזהות נקודות חיתוך עם צירי האיקס והוואי על ידי הצבה מתאימה
להבין את תחום ההגדרה של פונקציות ולהתייחס למכנים שאינם אפס
להשתמש במחשבון ובתוכנות כמו דסמוס לחקירת פונקציות
להבין התנהגות פונקציה כאשר x מתקרב לערכים בעייתיים ואינסוף
חקירת פונקציות ומערכת הצירים: למידה כיצד להציב ערכים בביטוי פונקציה ולקבל קואורדינטות לנקודות על מערכת הצירים, להבין חיתוכים עם צירים.
תחום ההגדרה: לימוד החשיבות של תחום ההגדרה, בדגש על מכנים שאינם אפס כדי למנוע חילוק באפס.
התנהגות פונקציה באינסוף ובסביבת נקודות בעייתיות: חקירת ההתנהגות של הפונקציה כאשר x מתקרב לערכים בעייתיים או לאינסוף באמצעות הצבות סמוכות במחשבון.

תרגול קצר

מציאת נקודות החיתוך עם הצירים

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה y = (x^2 - 2x) / (x - 1). מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר האיקס וציר הוואי.

חיתוך_עם_ציריםתחום_הגדרהפונקציותחישובים_בסיסיים

רמז: חיתוך עם ציר הוואי: הצב x=0 וחישב y. חיתוך עם ציר האיקס: הצב y=0 ופתור את המשוואה.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות חיתוך עם הצירים: (0,0) ו-(2,0)

- חיתוך עם ציר הוואי: הצב x=0 y = (0^2 - 2*0)/(0-1) = 0/(-1) = 0 נקודה (0,0) - חיתוך עם ציר האיקס: y=0 0 = (x^2 - 2x)/(x - 1) כדי שהפונקציה תהיה 0 המונה חייב להיות 0 ולא המכנה x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0 x=0 או x=2 האם x=1 אסור (מכנה=0), אז נקודות חיתוך הן (0,0) ו-(2,0)

בחינת תחום ההגדרה של הפונקציה

רמת קושי: בינוני

ממתין

הגדר את תחום ההגדרה של הפונקציה y = (x^2 - 2x)/(x - 1).

תחום_הגדרהאיסוריםפונקציותמכנים

רמז: תחום ההגדרה הוא כל x למעט הנקודות שבהן המכנה שווה לאפס.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה: כל המספרים הממשיים פרט ל-x=1

המכנה הוא (x - 1). תחום ההגדרה: x ≠ 1 כדי להימנע מחילוק באפס.

חקירת התנהגות הפונקציה ליד נקודת אי-הגדרה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בדוק את התנהגות הפונקציה y = (x^2 - 2x)/(x - 1) כאשר x שואף ל-1 מימין ומשמאל.

גבולותאי-הגדרהחקירת_פונקציההתנהגות_קריטית

רמז: הציב ערכים הקרובים ל-1 מצד ימין ומשמאל ובדוק את ערכי y.

פתרון מלא

תשובה סופית: x→1+ → y→ -∞ x→1- → y→ +∞

הצבה קרובה ל-1 מימין: x=1.001 y ≈ (1.001^2 - 2*1.001)/(1.001 - 1) ≈ (1.002001 - 2.002)/0.001 ≈ -0.999/0.001 = -999 הצבה קרובה ל-1 משמאל: x=0.999 y ≈ (0.999^2 - 2*0.999)/(0.999 - 1) ≈ (0.998001 - 1.998)/(-0.001) ≈ -0.999/(-0.001) = 999 מסקנה: הפונקציה שואפת למינוס אינסוף מימין ולאינסוף מימין

שאלת חיתוך ותחום הגדרה

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה הפונקציה y = (x^2 - 2x)/(x - 1). א. חשב את נקודות החיתוך עם הצירים. ב. ציין את תחום ההגדרה של הפונקציה. ג. הסבר את התנהגות הפונקציה כאשר x שואף ל-1.

בגרותחיתוך_עם_ציריםתחום_הגדרהגבולות

רמז: זכור: חיתוך ציר הוואי x=0, חיתוך ציר האיקס y=0. תחום ההגדרה - המכנה לא 0. התנהגות ליד נקודת אי-הגדרה - בדוק ערכים קרובים ל-1.

פתרון מלא

תשובה סופית: א. נקודות חיתוך: (0,0), (2,0) ב. תחום ההגדרה: x ≠ 1 ג. התנהגות: ב-x=1 יש נקודת אי-הגדרה, y שואף לאינסוף מצד אחד ומינוס אינסוף מצד שני.

א. חיתוך עם ציר הוואי: x=0: y=(0-0)/(0-1)=0 נקודה (0,0) חיתוך עם ציר האיקס: y=0 => המונה =0 x(x-2)=0 => x=0 או x=2 הנקודה x=1 לא בתחום נקודות חיתוך: (0,0), (2,0) ב. תחום ההגדרה: x≠1 ג. כאשר x שואף ל-1 מימין y שואף ל-(-∞), כש-x שואף ל-1 משמאל y שואף ל+∞.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חיפוש נקודות חיתוך ותחום הגדרה לפונקציה

פירוק בעיות של חיתוך תחום הגדרה

8 תחנות5 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נקודות החיתוך עם ציר הוואי / נקודות החיתוך עם ציר האיקס / תחום ההגדרה של הפונקציה
נתון 1
נתון 1
y = (x^2 - 2x) / (x - 1)
רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש בתנאים של חיתוך עם צירים ולטפל במכנה כדי למצוא תחום הגדרה.
נוסחה
הציב x=0 במקום x בפונקציה
y = (0 - 0) / (0 - 1)y = (0^2 - 2*0) / (0 - 1)y = (0 - 0)/(0 - 1)
משוואה
חשב את הערך y בהתאם להצבה
חשב את הערך y בהתאם להצבה
y=0y = 0
פישוט
פתור x(x-2)=0 עם x≠1
פתור x(x-2)=0 עם x≠1
x=0 או x=2
תוצאה
מסיימים בתשובה
קבע איפה המכנה שווה אפס
x ≠ 1x != 1
בדיקה
בדיקה קצרה
- הבנת ההבדל בין חיתוך עם ציר הוואי לחיתוך עם ציר האיקס
- זיהוי נכון של התחום שבו הפונקציה מוגדרת
- זהירות: לשכוח להוציא מהתחום את הערכים שבהם המכנה שווה ל-0

x ≠ 1x != 1

שימוש בקו מאויש וסימון נקודות אסורות

פתרונות כלליים

מציאת נקודות החיתוך עם הצירים: - חיתוך עם ציר הוואי: הצב x=0 y = (0^2 - 2*0)/(0-1) = 0/(-1) = 0 נקודה (0,0) - חיתוך עם ציר האיקס: y=0 0 = (x^2 - 2x)/(x - 1) כדי שהפונקציה תהיה 0 המונה חייב להיות 0 ולא המכנה x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0 x=0 או x=2 האם x=1 אסור (מכנה=0), אז נקודות חיתוך הן (0,0) ו-(2,0)
בחינת תחום ההגדרה של הפונקציה: המכנה הוא (x - 1). תחום ההגדרה: x ≠ 1 כדי להימנע מחילוק באפס.
חקירת התנהגות הפונקציה ליד נקודת אי-הגדרה: הצבה קרובה ל-1 מימין: x=1.001 y ≈ (1.001^2 - 2*1.001)/(1.001 - 1) ≈ (1.002001 - 2.002)/0.001 ≈ -0.999/0.001 = -999 הצבה קרובה ל-1 משמאל: x=0.999 y ≈ (0.999^2 - 2*0.999)/(0.999 - 1) ≈ (0.998001 - 1.998)/(-0.001) ≈ -0.999/(-0.001) = 999 מסקנה: הפונקציה שואפת למינוס אינסוף מימין ולאינסוף מימין
שאלת חיתוך ותחום הגדרה: א. חיתוך עם ציר הוואי: x=0: y=(0-0)/(0-1)=0 נקודה (0,0) חיתוך עם ציר האיקס: y=0 => המונה =0 x(x-2)=0 => x=0 או x=2 הנקודה x=1 לא בתחום נקודות חיתוך: (0,0), (2,0) ב. תחום ההגדרה: x≠1 ג. כאשר x שואף ל-1 מימין y שואף ל-(-∞), כש-x שואף ל-1 משמאל y שואף ל+∞.

הפריט הקודם הפריט הבא

א2. הבנת המחשבון ומערכת הצירים - חשוב ביותר

ניווט לפי נושאים

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא נקודות החיתוך עם ציר הוואי / נקודות החיתוך עם ציר האיקס / תחום ההגדרה של הפונקציה

נתון 1

הרעיון המרכזי

הציב x=0 במקום x בפונקציה

חשב את הערך y בהתאם להצבה

פתור x(x-2)=0 עם x≠1

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

הצבה לחיתוך עם ציר הוואי

חשב ערך y כאשר x=0

הצבה לחיתוך עם ציר האיקס

פתור את המשוואה למכנה לא אפס

מציאת תחום ההגדרה

פתרונות כלליים