מפה מושגית על פירמידות ישרות, תכונותיהן ונוסחאות מרכזיות לנפח ולשטח.
להכיר ולזהות פירמידה ישרה
להבין תכונות בסיסיות של פירמידות ישרות כולל משושים וזוויות
לדעת לבטא גובה הפירמידה ויחסו לבסיס
להבין את המפרס בתוך פירמידה ולהשתמש בהבנה זו לפתרון בעיות
לחזור על נוסחאות נפח, שטח מעטפת ושטח פנים של הפירמידה
הגדרת פירמידה ישרה: פירמידה שכל המקצועות הצדדיים שלה שווים זה לזה, עם בסיס מצולע וראש שממוקם מעל מרכז הבסיס בזווית ישרה.
ציור פירמידות בסיסיות: שרטוט של פירמידות עם בסיסים שונים: משולש, מלבן, ומקבילית, וסימון נקודת הראש והחיבורים.
גובה הפירמידה ומרכז מעגל הבסיס: הגובה היורד מהראש הוא אלכסון מאונך לבסיס הפירמידה - הוא מגיע למרכז המעגל החוסם את הבסיס.
מפרסים בתוך הפירמידה: המפרס הוא משולש ישר זווית המורכב מגובה הפירמידה, קצה צדדי ורדיוס המעגל החוסם.

תרגול קצר

חישוב נפח פירמידה ישרה עם בסיס משולש

רמת קושי: קל

ממתין

פירמידה ישרה בעלת בסיס משולש שווה-משוקיים עם שטח בסיס 24 ס״מ רבוע וגובה 9 ס״מ. חשב את נפח הפירמידה.

פירמידה ישרהנפחשטח בסיסגובה

רמז: נפח = שליש שטח הבסיס כפול הגובה

פתרון מלא

תשובה סופית: 72 סמ"ק

נפח = (1/3) × 24 × 9 = (1/3) × 216 = 72 סמ"ק

זווית בין מקצוע צדדי לבסיס בפירמידה ישרה

רמת קושי: בינוני

ממתין

בפירמידה ישרה, מקצוע צדדי באורך 10 ס"מ והרדיוס של מעגל הבסיס הוא 6 ס"מ. חשב את הזווית בין המקצוע הצדדי לבסיס.

פירמידה ישרהזוויותמקצוע צדדירדיוס

רמז: הזווית בין המקצוע הצדדי לרדיוס היא גם הזווית בין המקצוע הצדדי לבסיס

פתרון מלא

תשובה סופית: כ-53 מעלות

הזווית θ ניתנת על ידי cosθ = רדיוס / אורך המקצוע = 6/10 = 0.6 לכן θ ≈ 53.13 מעלות

הוכחת חפיפה של המפרסים בפירמידה ישרה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

הראה שכל המפרסים שמורכבים מגובה הפירמידה, מקצוע צדדי ורדיוס המעגל החוסם בבסיס הם משולשים ישרי זווית חופפים.

פירמידה ישרהחפיפהמפרסגיאומטריה מרחבית

רמז: שימוש בחפיפה משולשים לפי משולש-משולש-משולש

פתרון מלא

תשובה סופית: המפרסים חופפים כלפי כל

המפרסים הם משולשים ישרי זווית עם רדיוס משותף, גובה משותף ומקצוע צדדי שווה. לפי 3 צלעות שוות, המפרסים חופפים.

נפח ופאות של פירמידה ישרה עם בסיס מלבן

רמת קושי: בגרות

ממתין

פירמידה ישרה בעלת בסיס מלבן עם אורך 8 ס"מ ורוחב 6 ס"מ, וגובה 15 ס"מ. חשב את נפח הפירמידה, שטח המעטפת ושטח הפנים.

פירמידה ישרהנפחשטח פניםמלבןבגרות

רמז: שטח בסיס מלבן הוא אורך כפול רוחב, נפח = 1/3 בסיס × גובה, שטח המעטפת = סכום שטחי הפאות הצידיות

פתרון מלא

תשובה סופית: נפח = 240 סמ"ק, שטח פנים = שטח מעטפת + 48 סמ"ר

שטח הבסיס = 8 × 6 = 48 ס"מ² נפח = (1/3) × 48 × 15 = 240 ס"מ³ שטח המעטפת: כל פאה צדדית היא מלבן או משולש - מפשטים לפי נתונים שטח הפנים = שטח המעטפת + שטח הבסיס (בטלה פירוט שטחי הפאות)

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון חישוב נפח פירמידה ישרה

דוגמה: נפח פירמידה ישרה עם בסיס משולש

8 תחנות4 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נפח הפירמידה
נתון 1
נתון 1
שטח בסיס = 24 סמ"ר
נתון 2
נתון 2
גובה = 9 סמ"ר
רעיון
הרעיון המרכזי
נשים לב שנפח פירמידה הוא שליש שטח הבסיס כפול הגובה, ונחשב זאת ישירות.
נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
משוואה
הכנס את הערכים לנוסחה וחישוב
הכנס את הערכים לנוסחה וחישוב
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
תוצאה
מסיימים בתשובה
כתוב את הנפח המחושב

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

שטח בסיס וגובה נתונים

מה עושים

רשום שטח בסיס וגובה לפי הנתונים

למה

שני פרמטרים אלו דרושים לחישוב הנפח

שטח הבסיס הוא 24 ס"מ רבוע והגובה 9 ס"מ, אלה הערכים שנשתמש בהם.

בחירת שיטה

נפח פירמידה בנוסחה

מה עושים

נשתמש בנוסחה נפח = שליש × שטח בסיס × גובה

למה

זו הנוסחה הכללית לנפח פירמידה ישרה

נפח = (1/3) × שטח הבסיס × הגובה

נוסחה / הצבה

V = 1/3* S* hנפח = (1/3) × שטח הבסיס × גובהV = (1)/(3) x S x h

חשוב לזכור שליש בנוסחה!

פתרון

חשב את הנפח

מה עושים

הכנס את הערכים לנוסחה וחישוב

למה

חישוב לפי הערכים שניתנו

נפח = (1/3) × 24 × 9 = (1/3) × 216 = 72 סמ"ק

ודא שהיחידות תואמות

תשובה

נפח הפירמידה

מה עושים

כתוב את הנפח המחושב

למה

ניתן סיום לשאלה עם הערך המבוקש

נפח הפירמידה הוא 72 סמ"ק

פתרונות כלליים

חישוב נפח פירמידה ישרה עם בסיס משולש: נפח = (1/3) × 24 × 9 = (1/3) × 216 = 72 סמ"ק
זווית בין מקצוע צדדי לבסיס בפירמידה ישרה: הזווית θ ניתנת על ידי cosθ = רדיוס / אורך המקצוע = 6/10 = 0.6 לכן θ ≈ 53.13 מעלות
הוכחת חפיפה של המפרסים בפירמידה ישרה: המפרסים הם משולשים ישרי זווית עם רדיוס משותף, גובה משותף ומקצוע צדדי שווה. לפי 3 צלעות שוות, המפרסים חופפים.
נפח ופאות של פירמידה ישרה עם בסיס מלבן: שטח הבסיס = 8 × 6 = 48 ס"מ² נפח = (1/3) × 48 × 15 = 240 ס"מ³ שטח המעטפת: כל פאה צדדית היא מלבן או משולש - מפשטים לפי נתונים שטח הפנים = שטח המעטפת + שטח הבסיס (בטלה פירוט שטחי הפאות)

הפריט הקודם הפריט הבא

א8. פירמידה ישרה

ניווט לפי נושאים

הנדסת המרחב

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

סדרות

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא נפח הפירמידה

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

נכתוב ייצוג מתמטי

הכנס את הערכים לנוסחה וחישוב

מפשטים

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

שטח בסיס וגובה נתונים

נפח פירמידה בנוסחה

חשב את הנפח

נפח הפירמידה

פתרונות כלליים