וידאו · הנדסת המרחב
ב4. פתרון תרגיל במינסרה ישרה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק בפתרון תרגיל במנסרה ישרה תוך שימוש ברעיונות גיאומטריים כמו מאונכות בין ישרים, זווית בין ישר למישור, וחישובי טריגונומטריה למציאת אורכי צלעות וזוויות.
- להבין את המאפיינים של מנסרה ישרה ועמודיה.
- לזהות זווית בין ישר למישור ולהבין כיצד לחלץ אותה באמצעות היטל.
- להשתמש במשולשים שווה-שוקיים ובעקרונות פיתגורס.
- להחיל טריגונומטריה (tangent) לפתרון אורך צלעות וזוויות במנסרה.
- להסביר נימוקים גיאומטריים במונחים של מאונכות למישור ולישרים.
- תכונות בסיסיות של מנסרה ישרה: מנסרה ישרה מאופיינת בכך שהעמודים (המקצוע הצדדיים) מונחים מאונכים לקרקע ולתקרה, כדוגמת העמוד E-A
- ניתוח המשולש הפנימי: משולש פנימי במנסרה הוא שווה שוקיים עקב שימוש במשפט פיתגורס בין הגובה לבין צלעות המשולש
- מציאת זווית בין ישר למישור: הזווית בין ישר למישור נמצאת באמצעות ירידה של היטל אנכי מהישר למישור וחישוב הזווית בין הישר להיטל
- חישובי אורך צלעות: חישוב אורך צלע הבסיס X באמצעות כפילות טנגנס וזוויות ידועות, כולל שימוש במחשבון למציאת ערכי טנגנס
תרגול קצר
חישוב אורך הבסיס במנסרה ישרה
רמת קושי: קל
במנסרה ישרה נתון גובה העמוד H=10 מטר וזווית α=30°. חשב את אורך צלע הבסיס X.
רמז: השתמש בנוסחה X = (tan 30 * H) / tan α * 2 ובערכי טנגנס הנכונים
פתרון מלא
תשובה סופית: 20 מטר
מציבים tan 30 = 0.577, tan 30 = 0.577, tan α = tan 30 = 0.577, על כן X = (0.577 * 10) / 0.577 * 2 = 20 מטר.
חישוב זווית בין ישר למישור
רמת קושי: בינוני
במנסרה ישרה, נתון שהזווית בין היישר ATC לבסיס היא β. בהינתן H=10, חשב את β בהינתן tan β = H / (2H).
רמז: חשב tan β = 1/2, ומצא את ערך β במעלות.
פתרון מלא
תשובה סופית: 26.56 מעלות
tan β = 10 / (2*10) = 0.5. מחפשים את הזווית ש tan שלה 0.5, שהיא כ-26.56°.
הוכחה שגובה הוא תיכון במנסרה ישרה
רמת קושי: מאתגר
הסבר מדוע בגיאומטריית מנסרה ישרה הגובה מהמשולש הפנימי הוא גם תיכון.
רמז: השתמש במשפט פיתגורס ובתכונות משולש שווה שוקיים.
פתרון מלא
תשובה סופית: הגובה מהמשולש הפנימי הוא גם תיכון כי המשולש שווה שוקיים.
הגובה שווה גם לתיכון כי משולש הוא שווה שוקיים בעקבות שוויון אורכי הצלעות באמצעות פיתגורס, לכן גובה המשולש חוצה את הצלעות ויוצר תיכון.
זווית בין ישר למישור בחמשה מהלכים
רמת קושי: בגרות
במנסרה ישרה יש לחשב את הזווית בין הישר למישור בעזרת ירידת היטל אנכי. הסבר מהם חמישה המהלכים.
רמז: זכור שמאונכות ל-2 ישרים במישור שווה מאונכות למישור
פתרון מלא
תשובה סופית: חמישה מהלכים הם זיהוי, נקודה משותפת, ירידת היטל, הצגת מאונכות, חישוב הזווית.
1. לזהות הישר והמישור. 2. למצוא נקודה משותפת. 3. להוריד היטל אנכי. 4. להראות מאונכות לשני ישרים. 5. לחשב את הזווית בין הישר להיטל.
דרך הפתרון
פתרון תרגיל: מציאת אורך צלע הבסיס במנסרה ישרה
חישוב X בעזרת גובה H וזווית α
מפת פתרון
- מטרה
למצוא אורך צלע הבסיס X
- נתון 1
גובה העמוד H
- נתון 2
זווית α בין הישר למישור
- רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש במשולש ישר זווית פנימי ובעקרון הטנגנס למציאת X באמצעות H ו-α.
- נוסחה
לפי טאנג הזווית AE = H חלקי tan(α)
AE = H / tan(alpha)AE = (H)/() - משוואה
משמשים ביחסים במשולש שווה שוקיים וטנגנס של זווית 30°
משמשים ביחסים במשולש שווה שוקיים וטנגנס של זווית 30°
X = 2 * AE * tan(30)X = 2 x AE x 30^ - פישוט
מחברים את הביטויים ומחליפים את ערכי tan(30) ו- AE
מחברים את הביטויים ומחליפים את ערכי tan(30) ו- AE
X = 2 * (H / tan(alpha)) * tan(30)X = 2 x (H)/() x 30^ - תוצאה
מסיימים בתשובה
לחשב מספרית לפי הנתונים
X = 1.154 * H / tan(alpha)
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת נתונים עיקריים
זיהוי נתונים
הגדרת נתונים עיקריים
מה עושים
יש לנו את גובה העמוד H ואת הזווית α
למה
הנתונים האלו מאפשרים חישוב במשולש פנימי.
2בחירת שיטה
הורדת היטל אנכי
בחירת שיטה
הורדת היטל אנכי
מה עושים
מורידים היטל מהישר למישור כדי לקבל משולש ישר זווית
למה
היטל עוזר לזהות את הזווית במישורה ולחשב אורכים
3בניית משוואה
כתיבת נוסחה לבסיס AE
בניית משוואה
כתיבת נוסחה לבסיס AE
מה עושים
לפי טאנג הזווית AE = H חלקי tan(α)
למה
טנגנס מוגדר כמספר הנגדי במאונך חלקי הנגש
נוסחה / הצבה
AE = H / tan(alpha)AE = (H)/()חשוב להכיר את הגדרת הטנגנס למשולש ישר זווית.
4בניית משוואה
קשר בין AE לצלע הבסיס X
בניית משוואה
קשר בין AE לצלע הבסיס X
מה עושים
משמשים ביחסים במשולש שווה שוקיים וטנגנס של זווית 30°
למה
המשולש מאפשר לבטא X באמצעות ערכי טאנגוננטים ידועים ו- AE
נוסחה / הצבה
X = 2 * AE * tan(30)X = 2 x AE x 30^זכור שטנגנס 30 מעלות הוא כ-0.577.
5פתרון
חישוב סופי של X
פתרון
חישוב סופי של X
מה עושים
מחברים את הביטויים ומחליפים את ערכי tan(30) ו- AE
למה
כך ניתן לקבל ביטוי מספרי לפתרון X
נוסחה / הצבה
X = 2 * (H / tan(alpha)) * tan(30)X = 2 x (H)/() x 30^חשוב לבצע חישובים במעלות ולא ברדיאנים במחשבון.
6תשובה
קבלת התוצאה הסופית
תשובה
קבלת התוצאה הסופית
מה עושים
לחשב מספרית לפי הנתונים
למה
כך מפיקים תשובה מדויקת ונכונה לתרגיל
נוסחה / הצבה
X = 1.154 * H / tan(alpha)בדוק אם זווית α ידועה ומשתמש בערך בטוח לטנגנס.
פתרונות כלליים
- חישוב אורך הבסיס במנסרה ישרה: מציבים tan 30 = 0.577, tan 30 = 0.577, tan α = tan 30 = 0.577, על כן X = (0.577 * 10) / 0.577 * 2 = 20 מטר.
- חישוב זווית בין ישר למישור: tan β = 10 / (2*10) = 0.5. מחפשים את הזווית ש tan שלה 0.5, שהיא כ-26.56°.
- הוכחה שגובה הוא תיכון במנסרה ישרה: הגובה שווה גם לתיכון כי משולש הוא שווה שוקיים בעקבות שוויון אורכי הצלעות באמצעות פיתגורס, לכן גובה המשולש חוצה את הצלעות ויוצר תיכון.
- זווית בין ישר למישור בחמשה מהלכים: 1. לזהות הישר והמישור. 2. למצוא נקודה משותפת. 3. להוריד היטל אנכי. 4. להראות מאונכות לשני ישרים. 5. לחשב את הזווית בין הישר להיטל.