וידאו · הנדסת המרחב
ב5. פתרון תרגיל בתיבה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- הסבר פתרון תרגיל בהנדסת המרחב המתייחס לתיבה, נימוקים לזוויות של 90 מעלות בין ישרים ומישורים, שימוש במשפט פיתגורס וחישובי זוויות במשולש לתרגול הבנה וחישוב אורכים ונפח.
- להבין מונחים בסיסיים בתיבה ובפינותיה
- לנמק זוויות ישרות בין ישרים למישורים בתיבה
- לחשב אורכי צלעות במשולשים בתיבה בעזרת סינוס, קוסינוס ופיתגורס
- לחשב נפח תיבה מחישוב אורכים שונים
- מבנה התיבה והנימוקים לזוויות: הסבר מהי תיבה, זוויות בין ישרים למישורים והנמקה למה זווית מסוימת היא 90 מעלות
- חישובי אורכים במשולשים בתיבה: שימוש בסינוס, קוסינוס, טנגנס ומשפט פיתגורס לחישוב אורכי קטעים בתיבה
- חישוב נפח התיבה: חישוב נפח התיבה על ידי הכפלת אורכי הצלעות שנמצאו
תרגול קצר
חישוב אורכים בזוויות נתונות בתיבה
רמת קושי: קל
בתיבה נתונה אלכסון של אורך A וזווית בין ישרים היא 60 מעלות. חשבו את אורך הקטע A'B' ואת אורכי הצלעות הניצבות ל-A'B'.
רמז: השתמשו בנימוקים לזווית 90 מעלות, נסו לחשב ניצבים מתוך משולש שכולל את הקטעים הנתונים והזוויות.
פתרון מלא
תשובה סופית: אורך A'B' שווה חצי מ-A; אורכי הצלעות הניצבות הם 0.5A ו-0.766A בהתאמה.
ראשית ננמק שזווית בין A'B' למישור היא 90 מעלות, לכן A'B' ניצב לשאר הקטעים בפאה. הזווית בין הישרים היא 60 מעלות ולכן נשתמש בסינוס וקוסינוס לחישוב הצלעות הניצבות. מתקבלת נוסחה לחישוב אורכים חלקיים וחיבור לפי משפט פיתגורס.
דרך הפתרון
פתרון תרגיל בחישוב אורכי בתיבה
חישוב אורכי צלעות בתיבה וזוויות בין ישרים למישורים
מפת פתרון
- מטרה
למצוא אורך הקטע A'B' / אורכי הצלעות הניצבות ל-A'B' / זווית 90 מעלות בין ישר למישור
- נתון 1
תיבה עם אלכסון באורך A
- נתון 2
זווית בין ישרים 60 מעלות
- נתון 3
זווית בין ישר למישור 90 מעלות (מנומקת)
- רעיון
הרעיון המרכזי
לנמק זוויות ישרות על סמך מונחנות לישרים בפאות, להשתמש בסינוס ובפיתגורס לחישוב אורכים.
- נוסחה
מחשב את אורך הקטע הניצב השני באמצעות סינוס 50 מעלות כפול A
אורך = סינוס 50 × Aאורך = 0.766 × A - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
מחשב BD לפי משפט פיתגורס בסכום ריבועי האורכים הניצבים
מחשב BD לפי משפט פיתגורס בסכום ריבועי האורכים הניצבים
BD^2 = 0.25 × A^2 + 0.586 × A^2BD² = 0.5² × A² + 0.766² × A²
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
זיהוי הפאה והזווית
זיהוי נתונים
זיהוי הפאה והזווית
מה עושים
מנמק שהזווית בין הישר למישור היא 90 מעלות כי הישר מונח לשני ישרים בפאה
למה
נקודת המפתח לזווית ישרה בתיבה היא שבחלקה מסוימת הישר ניצב לשאר הישרים בפאה
A'B' מונח ל-A'D ול-A'A בפאה ולכן זווית היא 90 מעלות
הסבר זה קבוע ונדרש תמיד בנימוק לזוויות ישרות בתיבה
2בחירת שיטה
חישוב ניצבים במשולש
בחירת שיטה
חישוב ניצבים במשולש
מה עושים
מחשבים את אורך A'B' כניצב מול זווית של 30 מעלות במשולש ישר זווית
למה
ניצב מול זווית 30 מעלות הוא חצי מהיתר לפי משפט מיוחד במשולש 30-60-90
A'B' = חצי A
אם שוכחים, אפשר לחשב באמצעות סינוס או טנגנס
3בניית משוואה
חישוב אורך קטע נוסף
בניית משוואה
חישוב אורך קטע נוסף
מה עושים
מחשב את אורך הקטע הניצב השני באמצעות סינוס 50 מעלות כפול A
למה
הסינוס עוזר למצוא את הניצב מול זווית שהוזנה
אורך = sin(50) × A = 0.766 A
נוסחה / הצבה
אורך = סינוס 50 × Aאורך = 0.766 × Aיש להשתמש במחשבונים בנקודה זו
4פתרון
חישוב אורך BD
פתרון
חישוב אורך BD
מה עושים
מחשב BD לפי משפט פיתגורס בסכום ריבועי האורכים הניצבים
למה
כיוון שמשולש ישר זווית BD הוא היתר במשולש עם ניצבים 0.5A ו-0.766A
BD² = (0.5 A)² + (0.766 A)² = 0.25 A² + 0.586 A² = 0.836 A²
נוסחה / הצבה
BD^2 = 0.25 × A^2 + 0.586 × A^2BD² = 0.5² × A² + 0.766² × A²BD^(2) = (0.5)^(2) A^(2) + (0.766)^(2) A^(2)לא לשכוח לבצע חיבור מדויק של הריבועים
5פתרון
מוצא שורש לקבלת BD
פתרון
מוצא שורש לקבלת BD
מה עושים
שורש 0.836 A² לקבלת אורך BD
למה
השורש מחזיר את המידה המדויקת של BD
BD = √0.836 A² = 0.914 A
קירוב התוצאה לעשרוני מאפשר לחשוב על גודל המשקל בפועל
6תשובה
סיכום אורכים ונפח
תשובה
סיכום אורכים ונפח
מה עושים
סיכום האורכים ופישוט חישוב נפח על פי אורך×רוחב×גובה
למה
נפח התיבה הוא מכפלת שלושת האורכים שחושבו
אורך = 0.5 A, רוחב = 0.766 A, גובה = 0.4 A נפח = אורך × רוחב × גובה = 0.1532 A³
נוסחה / הצבה
נפח = 0.5 A × 0.766 A × 0.4 A= 0.1532 A^3יש לשים לב שכל המידות באות ביחידות של A
פתרונות כלליים
- חישוב אורכים בזוויות נתונות בתיבה: ראשית ננמק שזווית בין A'B' למישור היא 90 מעלות, לכן A'B' ניצב לשאר הקטעים בפאה. הזווית בין הישרים היא 60 מעלות ולכן נשתמש בסינוס וקוסינוס לחישוב הצלעות הניצבות. מתקבלת נוסחה לחישוב אורכים חלקיים וחיבור לפי משפט פיתגורס.