וידאו · סדרות
ג9. סדרת נסיגה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק בפתרון סדרות נסיגה בעזרת בניית סדרה מקשרת, הוכחת סדרה הנדסית, ומציאת נוסחאות כלליות לאיברים בסדרה.
- להבין מכפלה והוספה בסדרה נסיגה.
- לזהות ולבנות סדרה מקשרת לסדרה ראשית.
- להוכיח שסדרה היא הנדסית באמצעות נוסחאות כלליות.
- ליצור נוסחה לאיבר הכללי בסדרה הנדסית.
- למצוא נוסחה לאיבר בסדרה המקורית בעזרת הסדרה המקשרת.
- לחבר נוסחה לסכום איברים בסדרה הנדסית.
- הגדרת הסדרה הנתונה ומציאת איברים ראשונים: הוסבר כלל הסדרה ונמצאו חמשת האיברים הראשונים בעזרת הצבה ישירה.
- בניית סדרה מקשרת לצורך פישוט: הוגדרה סדרה B_n שבה B_n = A_n + 2 כדי להפוך אותה לסדרה הנדסית ולנתח את התכונות שלה.
- נוסחאות כלליות לאיבר הכללי: מציאת נוסחאות כלליות ל-B_n ולאחר מכן ל-A_n באמצעות הסדרה המקשרת.
תרגול קצר
מצא את חמשת האיברים הראשונים בסדרה
רמת קושי: קל
נתונה סדרה הנסיגה a_{n+1} = 5a_n + 8 כאשר a_1 = 2. מצא את a_1 עד a_5.
רמז: הצג את הערכים על פי הכלל על ידי הצבה סדרתית מ-n=1 עד 4.
פתרון מלא
תשובה סופית: 2, 18, 98, 498, 2498
a_1=2 a_2=5*2+8=18 a_3=5*18+8=98 a_4=5*98+8=498 a_5=5*498+8=2498
הוכח שסדרת B הנדסית
רמת קושי: בינוני
נתונה הסדרה B_n = A_n + 2 כאשר A_n כמו בשאלה הקודמת. הוכח שבסדרה B המנה קבועה ושווה ל-5.
רמז: חשב את B_{n+1} / B_n והראה שזה שווה ל-5 לכל n.
פתרון מלא
תשובה סופית: B היא סדרה הנדסית עם מנה Q=5
חישוב: B_{n+1} = A_{n+1}+2 = 5A_n + 8 + 2 = 5A_n + 10 חילוק: B_{n+1}/B_n = (5A_n +10)/(A_n+2) = 5 (A_n + 2)/(A_n + 2) = 5 מכאן הסדרה הנדסית עם מנה 5.
מצא נוסחה כללית לאיבר A_n
רמת קושי: מאתגר
נתונה הסדרה הנסיגה a_{n+1} = 5a_n + 8 עם a_1 = 2. מצא נוסחה לסדרה A_n על ידי שימוש בסדרה המקשרת B_n = A_n + 2.
רמז: מצא נוסחה ל-B_n כסדרה הנדסית, ואז חשב A_n = B_n - 2.
פתרון מלא
תשובה סופית: A_n = 4 * 5^{n-1} - 2
מסיק ש-B_n = 4 * 5^{n-1} לכן A_n = B_n - 2 = 4 * 5^{n-1} - 2
חשב את סכום 20 האיברים הראשונים של B
רמת קושי: בגרות
ידועה סדרת B הנדסית עם B_1=4 ומנה Q=5. חשב את סכום ה-20 האיברים הראשונים S_{20}.
רמז: השתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית S_n = B_1 (Q^n -1) / (Q -1).
פתרון מלא
תשובה סופית: S_{20} = 5^{20} - 1
S_{20} = 4 * (5^{20} - 1) / (5 - 1) = 4 * (5^{20} -1) / 4 = 5^{20} -1
דרך הפתרון
פתרון סדרת הנסיגה בעזרת סדרה מקשרת
מציאת נוסחה כללית לאיבר בסדרה a_{n+1} = 5a_n + 8 עם a_1=2
מפת פתרון
- מטרה
למצוא נוסחה כללית לאיבר a_n
- נתון 1
נתון 1
a_n+1 = 5a_n + 8 - נתון 2
נתון 2
a_1 = 2 - רעיון
הרעיון המרכזי
בניית סדרה מקשרת B_n = A_n + 2 שתהיה הנדסית, למצוא נוסחה ל-B_n ולהפיק ממנה נוסחה ל-A_n.
- נוסחה
נציב את a_{n+1} ונחשב את B_{n+1} = A_{n+1} + 2
B_n+1 = 5 A_n + 8 + 2 - משוואה
נמצא B_n כסדרה הנדסית ונחשב A_n באמצעות B_n
נמצא B_n כסדרה הנדסית ונחשב A_n באמצעות B_n
A_n = 4 * 5^(n-1) - 2A_n = 4 x 5^(n-1) - 2 - פישוט
נכפיל ונסדר את הביטוי ונמצא מנה
נכפיל ונסדר את הביטוי ונמצא מנה
B_n+1 = 5 B_n - תוצאה
מסיימים בתשובה
כתבו את הכלל a_{n+1} = 5a_n +8 ואת a_1 = 2
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתון כלל הסדרה והאיבר הראשון
זיהוי נתונים
נתון כלל הסדרה והאיבר הראשון
מה עושים
כתבו את הכלל a_{n+1} = 5a_n +8 ואת a_1 = 2
למה
התחלת הפתרון דורשת סידור הנתונים.
נסדר את הגדרות הסדרה כפי שמופיעות בשאלה.
חשוב להבין את מבנה הסדרה מראש.
2בחירת שיטה
הגדרת סדרה מקשרת B_n
בחירת שיטה
הגדרת סדרה מקשרת B_n
מה עושים
נגדיר B_n = A_n + 2
למה
נבחן האם B_n היא סדרה הנדסית כדי לפשט את הניתוח.
הוספת 2 לכל איבר בסדרה A כדי למצוא סדרה עם התכונות שלנו צריכות.
נוסחה / הצבה
B_n = A_n + 2סדרה מקשרת מאפשרת לעקוף סדרות נסיגה מסובכות.
3בניית משוואה
מציאת כלל עבור B_{n+1}
בניית משוואה
מציאת כלל עבור B_{n+1}
מה עושים
נציב את a_{n+1} ונחשב את B_{n+1} = A_{n+1} + 2
למה
כדי להראות ש-B_n היא סדרה הנדסית עלינו למצוא חוקיות של B_{n+1} ביחס ל-B_n.
החלפת a_{n+1} ב-5a_n + 8, ואז נוסיף 2 לפי ההגדרה.
נוסחה / הצבה
B_n+1 = 5 A_n + 8 + 2שימוש בכלל הסדרה באופן מפורש.
4פתרון
פישוט הביטוי ל-B_{n+1}
פתרון
פישוט הביטוי ל-B_{n+1}
מה עושים
נכפיל ונסדר את הביטוי ונמצא מנה
למה
כדי לבדוק אם B הנדסית, נחלק B_{n+1} ב-B_n ונראה אם מתקבל יחס קבוע.
B_{n+1} = 5 A_n + 10 = 5 (A_n + 2) = 5 B_n
נוסחה / הצבה
B_n+1 = 5 B_nפישוט חשוב לפילוח המשוואה.
5תשובה
נוסחה כללית של B_n והסקת נוסחה ל-A_n
תשובה
נוסחה כללית של B_n והסקת נוסחה ל-A_n
מה עושים
נמצא B_n כסדרה הנדסית ונחשב A_n באמצעות B_n
למה
מכיוון ש-B סדרה הנדסית, ניתן להציב נוסחה טורית רגילה, וממנה להשיב ל-A.
B_n = 4 * 5^{n-1}, לכן A_n = B_n - 2 = 4 * 5^{n-1} - 2
נוסחה / הצבה
A_n = 4 * 5^(n-1) - 2A_n = 4 x 5^(n-1) - 2כעת אפשר לחשב כל איבר בקלות.
פתרונות כלליים
- מצא את חמשת האיברים הראשונים בסדרה: a_1=2 a_2=5*2+8=18 a_3=5*18+8=98 a_4=5*98+8=498 a_5=5*498+8=2498
- הוכח שסדרת B הנדסית: חישוב: B_{n+1} = A_{n+1}+2 = 5A_n + 8 + 2 = 5A_n + 10 חילוק: B_{n+1}/B_n = (5A_n +10)/(A_n+2) = 5 (A_n + 2)/(A_n + 2) = 5 מכאן הסדרה הנדסית עם מנה 5.
- מצא נוסחה כללית לאיבר A_n: מסיק ש-B_n = 4 * 5^{n-1} לכן A_n = B_n - 2 = 4 * 5^{n-1} - 2
- חשב את סכום 20 האיברים הראשונים של B: S_{20} = 4 * (5^{20} - 1) / (5 - 1) = 4 * (5^{20} -1) / 4 = 5^{20} -1