וידאו · סדרות
ג11. סדרת נסיגה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- הסבר והוכחה של סדרת בי כסדרה מקשרת הנדסית, מציאת נוסחאות כלליות לסדרת בי ו-a, ובחינת סכום עשרים האיברים הראשונים בסדרת a באמצעות פירוק לסדרות חשבוניות והנדסיות.
- להבין את הגדרת סדרת בי כסדרה מקשרת הנדסית
- להוכיח שסדרת בי היא סדרה הנדסית עם מנת q = 2
- למצוא נוסחאות כלליות לבי ול-a לפי מיקום n
- להבין ובעיקר להכיר כיצד לחשב סכום של סדרת a בעזרת פירוק לסדרות חשבוניות והנדסיות
- הגדרת סדרת בי והוכחת מקשריות: הוגדרה סדרת בי כפונקציה של סדרת a ועוד n, והוצגה התפתחות הערכים בסדרה. הוכח שסדרת בי היא סדרה מקשרת הנדסית עם מנת 2.
- נוסחאות כלליות לסדרות בי ו-a: נוסחה כללית לסדרת בי בהתאם למיקום n נמצאה כביטוי של בי 1 כפול q בחזקת n-1. נוסחה ל-a n נגזרה מסדרת בי ביחס ל-n.
- חישוב סכום עשרים האיברים הראשונים בסדרת a: התייחסות לחשיבות והקושי בחישוב סכום האיברים בסדרת a. נשקלה שיטת הפירוק לסדרת חשבונית וסדרה הנדסית נוספות לביצוע החישוב.
תרגול קצר
הוכח שסדרת בי היא סדרה הנדסית
רמת קושי: קל
בהינתן סדרת בי שמוגדרת כבי n = א' n + n, הוכח שסדרת בי היא סדרה הנדסית והצביע על מנת הסדרה q.
רמז: בדוק את היחס בין איבר ל-(n+1) לאיבר ב-(n), הצג את הביטוי המתמטי של מנת הסדרה.
פתרון מלא
תשובה סופית: סדרת בי היא הנדסית עם מנת q=2.
נבדוק את היחס בין בי n+1 לבי n: בי (n+1) = א' (n+1) + (n+1), ובי n = א' n + n נתון כי א' היא סדרה מקשרת כך ש(א' n+1) קשור ל (א' n) במקדם r. מתוך הפיתוח בשיעור, נמצא יחס בי (n+1) בי n = 2 ולכן סדרת בי היא הנדסית עם q=2.
מצא נוסחה כללית לסדרת בי לפי מיקום n
רמת קושי: בינוני
בהינתן בי 1 = 3 ומנת הסדרה q=2, מצאו ביטוי לסדרת בי כללית: בי n לפי n.
רמז: נוסחת סדרה הנדסית היא b_n = b_1 * q^(n-1).
פתרון מלא
תשובה סופית: b_n = 3 * 2^(n-1)
נוסחת הסדרה ההנדסית היא b_n = 3 * 2^(n-1)
חשב a עשרים מתוך נוסחת a_n = b_n - n
רמת קושי: מאתגר
בהינתן b_n = 3 * 2^(n-1), חשב את a_20 = b_20 - 20.
רמז: חשב תחילה את b_20 ואז הפחת 20.
פתרון מלא
תשובה סופית: a_20 = 1,572,844
b_20 = 3 * 2^{19} = 3 * 524288 = 1572864 לכן a_20 = 1572864 - 20 = 1572844
מצא את סכום 20 האיברים הראשונים בסדרה a
רמת קושי: בגרות
בהינתן סדרת a עם a_n = 3 * 2^{n-1} - n מצא את סכום a_1 + a_2 + ... + a_{20}.
רמז: פרק את הסכום לסכום סדרה הנדסית ולסכום סדרה חשבונית והשתמש בנוסחאות לסכומים.
פתרון מלא
תשובה סופית: סך הסכום הוא 3,145,515
הסכום הוא S = Σa_n = Σ(3 * 2^{n-1} - n) = 3 Σ 2^{n-1} - Σ n סכום הסדרה ההנדסית Σ 2^{n-1} מ-1 עד 20 הוא 2^{20} -1 סכום Σ n מ-1 עד 20 הוא (20 * 21)/2 = 210 לכן: S = 3 * (2^{20} -1) - 210 S = 3 * (1,048,576 -1) - 210 S = 3 * 1,048,575 - 210 S = 3,145,725 - 210 = 3,145,515
דרך הפתרון
מפת פתרון: מציאת נוסחה כללית לסדרת בי
הוכחה שמדובר בסדרה הנדסית ומציאת נוסחה עבור b_n
מפת פתרון
- מטרה
למצוא הוכחת מקשריות סדרת בי / נוסחה כללית לבי n
- נתון 1
נתון 1
בי מוגדרת כך ש-bi n = a_n + n - נתון 2
נתון 2
a_n היא סדרה נתונה - רעיון
הרעיון המרכזי
נמצא את היחס בין האיבר הבא לאיבר הנוכחי בסדרת בי ונראה שהוא קבוע.
- נוסחה
כתוב את נוסחת הסדרה ההנדסית של בי
b_n = b_1 * 2^(n-1)b_n = b_1 x 2^(n-1) - משוואה
הבע את bi n+1 ו bi n באמצעות a_n
הבע את bi n+1 ו bi n באמצעות a_n
- פישוט
החלף ערכים ונוסחאות מ-a n כדי למצוא את היחס
החלף ערכים ונוסחאות מ-a n כדי למצוא את היחס
q = b_(n+1) / b_n = 2q = (bi n+1) / (bi n) = 2 - תוצאה
מסיימים בתשובה
הבנה ש-bi n = a_n + n
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הגדרת סדרה בי
זיהוי נתונים
הגדרת סדרה בי
מה עושים
הבנה ש-bi n = a_n + n
למה
זו ההגדרה שמאפשרת חיבור בין הסדרות a ו-bi
נתון: bi n שווה לאיבר correspondente בסדרה a בתוספת n
2בחירת שיטה
בדיקת מנת הסדרה
בחירת שיטה
בדיקת מנת הסדרה
מה עושים
חשב את היחס בין bi n+1 ל-bi n
למה
אם היחס קבוע, הסדרה הנדסית
נבדוק האם (bi n+1) / (bi n) שווה למספר קבוע q
3בניית משוואה
כתיבת ביטוי יחס תוך התייחסות ל-a_n
בניית משוואה
כתיבת ביטוי יחס תוך התייחסות ל-a_n
מה עושים
הבע את bi n+1 ו bi n באמצעות a_n
למה
להראות את הקשר המתמטי ולפתור הלאה
bi n+1 = a_{n+1} + n + 1 , bi n = a_n + n
4פתרון
פישוט הביטוי למציאת q
פתרון
פישוט הביטוי למציאת q
מה עושים
החלף ערכים ונוסחאות מ-a n כדי למצוא את היחס
למה
לגזור את היחס בין איברי הסדרה ולהוכיח שהוא 2
לאחר החלפה, מוצאים שיחס הסדרה הוא 2
נוסחה / הצבה
q = b_(n+1) / b_n = 2q = (bi n+1) / (bi n) = 2q = (b_n+1)/(b_n) = 2הקפד להחליף נכון את הביטויים ולהציג בקפידה את הצעדים.
5תשובה
נוסחה כללית לסדרת בי
תשובה
נוסחה כללית לסדרת בי
מה עושים
כתוב את נוסחת הסדרה ההנדסית של בי
למה
מכיוון ש-q=2, הנוסחה היא b_n = b_1 כפול 2 בחזקת n-1
מכאן נגזרת נוסחה כללית למשוואת בי
נוסחה / הצבה
b_n = b_1 * 2^(n-1)b_n = b_1 x 2^(n-1)זכור את נוסחת הסדרה ההנדסית הכללית.
פתרונות כלליים
- הוכח שסדרת בי היא סדרה הנדסית: נבדוק את היחס בין בי n+1 לבי n: בי (n+1) = א' (n+1) + (n+1), ובי n = א' n + n נתון כי א' היא סדרה מקשרת כך ש(א' n+1) קשור ל (א' n) במקדם r. מתוך הפיתוח בשיעור, נמצא יחס בי (n+1) בי n = 2 ולכן סדרת בי היא הנדסית עם q=2.
- מצא נוסחה כללית לסדרת בי לפי מיקום n: נוסחת הסדרה ההנדסית היא b_n = 3 * 2^(n-1)
- חשב a עשרים מתוך נוסחת a_n = b_n - n: b_20 = 3 * 2^{19} = 3 * 524288 = 1572864 לכן a_20 = 1572864 - 20 = 1572844
- מצא את סכום 20 האיברים הראשונים בסדרה a: הסכום הוא S = Σa_n = Σ(3 * 2^{n-1} - n) = 3 Σ 2^{n-1} - Σ n סכום הסדרה ההנדסית Σ 2^{n-1} מ-1 עד 20 הוא 2^{20} -1 סכום Σ n מ-1 עד 20 הוא (20 * 21)/2 = 210 לכן: S = 3 * (2^{20} -1) - 210 S = 3 * (1,048,576 -1) - 210 S = 3 * 1,048,575 - 210 S = 3,145,725 - 210 = 3,145,515