וידאו · סדרות
ג10. סדרת נסיגה
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור המתמקד בסדרת נסיגה עם כלל סיגרה נתון, מציאת האיברים הראשונים, הסקת מסקנות והוכחת תכונות כלליות של הסדרה תוך פירוקה לתת סדרות חשבוניות.
- להבין את השימוש בכלל הסיגרה כדי לחשב איברים בסדרה
- לזהות תכונות והבדלים בין תתי סדרות בתוך סדרה כללית
- להוכיח תכונות של הסדרה באופן כללי
- להשתמש ברעיונות של סדרות חשבוניות בתוך סדרת נסיגה
- חישוב איברים ראשונים בסדרה: הצגה ויישום של כלל הסיגרה לחישוב האיברים a1 עד a6.
- הסקת מסקנות על תתי הסדרות: זיהוי תתי סדרות על פי מיקומים זוגיים ואי-זוגיים והנחת תכונות חשבוניות לגביהן.
- הוכחה מתמטית של תכונת הפרש קבוע: הוכחה שהפרש בין איברים בהפרש של שני אינדקסים קבוע ושווה 6.
- חישוב איברים בסדרות המשניות וסכום חלקי: הבדל בין איברים במקומות זוגיים לאי זוגיים, וכיצד לחשב איבר מסוים או סכום באופן שיטתי.
תרגול קצר
חשב את האיברים הראשונים של הסדרה
רמת קושי: קל
נתון כלל הסיגרה a(n+1) = 6n - a(n) + 3 עם a3 = 4. חשב את ששת האיברים הראשונים בסדרה: a1 עד a6.
רמז: התחל מ-a3 והשתמש בכלל הסיגרה כדי למצוא את a2 ואחר כך את a1. לאחר מכן המשך לחשב מ-a4 עד a6.
פתרון מלא
תשובה סופית: איברי הסדרה הראשונים הם: -2, 11, 4, 17, 10, 23
להלן החישובים: a3=4. לכן a3 = 6*2 - a2 + 3 ⇒ 4 =12 - a2 +3 אז a2 = 11. a2=11 הוא a2=6*1 - a1 +3 ⇒ 11 =6 - a1 +3 ⇒ a1 = -2. עכשיו מ-a4 = 6*3 - a3 + 3 ⇒ 18 -4 +3 =17. a5=6*4 - a4 +3 ⇒ 24 -17 +3 =10. a6=6*5 - a5 +3 ⇒ 30 -10 +3 =23. רשימת האיברים: -2, 11, 4, 17, 10, 23.
הסק מסקנה ותאר תתי סדרות
רמת קושי: בינוני
בהינתן ששת האיברים הראשונים (-2, 11, 4, 17, 10, 23), הסק מסקנה על תתי סדרות במקומות הזוגיים והאי-זוגיים והוכח את המסקנה.
רמז: הסתכל על האיברים במיקומים הזוגיים וחפש סדרה עם הפרש קבוע. בצע את אותו הדבר עבור האיברים במיקומים האי-זוגיים.
פתרון מלא
תשובה סופית: תתי הסדרות של איברים במיקומים האי-זוגיים ובמיקומים הזוגיים הן סדרות חשבוניות עם הפרש קבוע 6.
סתכל על האיברים במקומות אי זוגיים: a1=-2, a3=4, a5=10. הפרשים: 4-(-2)=6, 10-4=6. הפרש קבוע 6, זו סדרה חשבונית. במקומות זוגיים: a2=11, a4=17, a6=23 הפרשים: 17-11=6, 23-17=6. גם סדרה חשבונית עם הפרש 6. ההוכחה הכללית נעשית על ידי הוכחת שההפרש בין איברים עם שני אינדקסים של ריווח הוא 6 באופן כללי, כפי שמודגם דרך ההפרש D = a(n+2)-a(n) = 6.
חשב איבר a30 ואיבר a49 בסדרה
רמת קושי: מאתגר
חשב את הערכים a30 ו-a49 בסדרה נתונה, תוך התחשבות שהסדרה מתפרקת לתת סדרות חשבוניות במקומות הזוגיים והאי-זוגיים.
רמז: a30 הוא האיבר ה-15 בתת הסדרה הזוגית עם a2=11 והפרש 6. a49 הוא האיבר ה-25 בתת הסדרה האי-זוגית עם a1=-2 והפרש 6.
פתרון מלא
תשובה סופית: a30 = 95, a49 = 142
a30 = a2 + (15-1)*6 = 11 + 14*6 = 11 + 84 = 95. a49 = a1 + (25-1)*6 = -2 + 24*6 = -2 + 144 = 142.
חשב את סכום 55 האיברים הראשונים
רמת קושי: בגרות
מצא את הסכום של 55 האיברים הראשונים בסדרה הנתונה, בהתחשב שהיא לא סדרה חשבונית כללית אלא מורכבת משתי תת סדרות חשבוניות במיקומים זוגיים ואי זוגיים.
רמז: פצל את הסכום לסכום איברים במקומות אי זוגיים וסכום איברים במקומות זוגיים. חשב כל סכום בנפרד כסכום סדרה חשבונית עם הפרש 6, לאחר מכן חיבור שני הסכומים.
פתרון מלא
תשובה סופית: סכום 55 האיברים הראשונים הוא 4615.
מספר האיברים במקומות אי זוגיים ל-55 איברים הינו 28 (האיבר ה-55 הוא אי זוגי). מספר האיברים במקומות זוגיים הוא 27. סך הסכום הוא סכום הסדרה האי-זוגית: S1 = (28/2)*(2*a1 + (28-1)*6) = 14*(2*(-2) + 27*6) = 14*(-4 +162) = 14*158 = 2212. סכום הסדרה הזוגית: S2 = (27/2)*(2*a2 + (27-1)*6) = 13.5*(2*11 +26*6) = 13.5*(22 +156) = 13.5*178 = 2403. סהכ: 2212+2403=4615.
דרך הפתרון
פתרון חישוב ואיברים בסדרת נסיגה
איך לחשב את ששת האיברים הראשונים
מפת פתרון
- מטרה
למצוא a1 / a2 / a3 / a4
- נתון 1
נתון 1
a(n+1) = 6n - a(n) + 3 - נתון 2
נתון 2
a3 = 4 - רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש בכלל הסיגרה כדי למצוא קודם את a2 ו-a1 באמצעות נתון a3, ואז נחשב את a4, a5 ו-a6.
- נוסחה
אחרי מציאת a1 הוצבו ערכי a3, a4, a5, a6 לפי הכלל והאיברים הקודמים
a4 = 18 - a3 + 3 = 17a5 = 24 - a4 + 3 = 10a6 = 30 - a5 + 3 = 23a_4 = 18 - a_3 + 3 = 17a_5 = 24 - a_4 + 3 = 10 - משוואה
הצבת n=2 ב a3=6*2 - a2 + 3 = 4 ובניית משוואה ל-a2
הצבת n=2 ב a3=6*2 - a2 + 3 = 4 ובניית משוואה ל-a2
12 - a2 + 3 = 412 - a_2 + 3 = 4 - פישוט
a2 = 12 + 3 - 4 = 11; שימוש בכלל לחישוב a1 באמצעות n=1: 11 = 6*1 - a1 +
a2 = 12 + 3 - 4 = 11; שימוש בכלל לחישוב a1 באמצעות n=1: 11 = 6*1 - a1 + 3
11 = 6 - a1 + 311 = 6 - a_1 + 3 - תוצאה
מסיימים בתשובה
איברי הסדרה הראשונים הם: a1=-2, a2=11, a3=4, a4=17, a5=10, a6=23
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
נתונים התחלתיים
זיהוי נתונים
נתונים התחלתיים
מה עושים
a3 = 4, כלל הסיגרה a(n+1) = 6n - a(n) + 3
למה
כלל הסיגרה ומידע על האיבר השלישי הם בסיס לחישובים הבאים
הנתונים מאפשרים להשוות וליצור משוואות לפתרון האיברים הקודמים והבאים
2בחירת שיטה
חישוב לאחור וקדימה
בחירת שיטה
חישוב לאחור וקדימה
מה עושים
השתמש בכלל הסיגרה ההפוך לחישוב a2 ואחר כך a1. לאחר מכן המשך קדימה ל-a4, a5, a6
למה
הכלל מחבר בין איבר לעוקבו; אפשרי למצוא איברים סמוכים דרך הצבה
פותר משוואות חסרות על סמך ערכים ידועים, ומחשב איברים נוספים
3בניית משוואה
שבירת הכלל למקרים
בניית משוואה
שבירת הכלל למקרים
מה עושים
הצבת n=2 ב a3=6*2 - a2 + 3 = 4 ובניית משוואה ל-a2
למה
התאמת הכלל לנתון מהמקרה הספציפי מאפשר מציאת איברים
a3 נתון, ומשוואת חיבור מאפשרת למצוא a2
נוסחה / הצבה
12 - a2 + 3 = 412 - a_2 + 3 = 4נסה לפתור משוואה זו לבידוד a2
4פתרון
חישוב a2 ו-a1
פתרון
חישוב a2 ו-a1
מה עושים
a2 = 12 + 3 - 4 = 11; שימוש בכלל לחישוב a1 באמצעות n=1: 11 = 6*1 - a1 + 3
למה
בחישוב לאחור חייבים לברר את הערכים הקרובים לa3
מציאת a1 מ-11 = 6 - a1 +3
נוסחה / הצבה
11 = 6 - a1 + 311 = 6 - a_1 + 3בודדים ומשווים לערך a1
5פתרון
חישוב a4, a5, a6
פתרון
חישוב a4, a5, a6
מה עושים
אחרי מציאת a1 הוצבו ערכי a3, a4, a5, a6 לפי הכלל והאיברים הקודמים
למה
חישוב האיברים הבאים לפי הכלל מפיק את כל הסדרה
a4 = 18 - 4 + 3 = 17; a5 = 24 - 17 + 3 = 10; a6 = 30 - 10 + 3 = 23
נוסחה / הצבה
a4 = 18 - a3 + 3 = 17a5 = 24 - a4 + 3 = 10a6 = 30 - a5 + 3 = 23a_4 = 18 - a_3 + 3 = 17a_5 = 24 - a_4 + 3 = 10השתמש בערכים שחושבו בסביבה של איברים קרובים
6תשובה
רשימת האיברים
תשובה
רשימת האיברים
מה עושים
איברי הסדרה הראשונים הם: a1=-2, a2=11, a3=4, a4=17, a5=10, a6=23
למה
רצף זה נובע מחשבון לפי כלל הסיגרה ומאפשר הבנת הסדרה
אוכלוסייה מלאה של האיברים הראשונים לסדרה זו
פתרונות כלליים
- חשב את האיברים הראשונים של הסדרה: להלן החישובים: a3=4. לכן a3 = 6*2 - a2 + 3 ⇒ 4 =12 - a2 +3 אז a2 = 11. a2=11 הוא a2=6*1 - a1 +3 ⇒ 11 =6 - a1 +3 ⇒ a1 = -2. עכשיו מ-a4 = 6*3 - a3 + 3 ⇒ 18 -4 +3 =17. a5=6*4 - a4 +3 ⇒ 24 -17 +3 =10. a6=6*5 - a5 +3 ⇒ 30 -10 +3 =23. רשימת האיברים: -2, 11, 4, 17, 10, 23.
- הסק מסקנה ותאר תתי סדרות: סתכל על האיברים במקומות אי זוגיים: a1=-2, a3=4, a5=10. הפרשים: 4-(-2)=6, 10-4=6. הפרש קבוע 6, זו סדרה חשבונית. במקומות זוגיים: a2=11, a4=17, a6=23 הפרשים: 17-11=6, 23-17=6. גם סדרה חשבונית עם הפרש 6. ההוכחה הכללית נעשית על ידי הוכחת שההפרש בין איברים עם שני אינדקסים של ריווח הוא 6 באופן כללי, כפי שמודגם דרך ההפרש D = a(n+2)-a(n) = 6.
- חשב איבר a30 ואיבר a49 בסדרה: a30 = a2 + (15-1)*6 = 11 + 14*6 = 11 + 84 = 95. a49 = a1 + (25-1)*6 = -2 + 24*6 = -2 + 144 = 142.
- חשב את סכום 55 האיברים הראשונים: מספר האיברים במקומות אי זוגיים ל-55 איברים הינו 28 (האיבר ה-55 הוא אי זוגי). מספר האיברים במקומות זוגיים הוא 27. סך הסכום הוא סכום הסדרה האי-זוגית: S1 = (28/2)*(2*a1 + (28-1)*6) = 14*(2*(-2) + 27*6) = 14*(-4 +162) = 14*158 = 2212. סכום הסדרה הזוגית: S2 = (27/2)*(2*a2 + (27-1)*6) = 13.5*(2*11 +26*6) = 13.5*(22 +156) = 13.5*178 = 2403. סהכ: 2212+2403=4615.