שיעור על מציאת האיברים הראשונים של סדרה נתונה באמצעות סכומים חלקיים, הוצאת האיבר ה-n, ובדיקה שהסדרה היא חשבונית באמצעות הפרש קבוע.
לזהות את הקשר בין סכום איברים לסכום חלקי בסדרה.
לחבר איברי סדרה מתוך סכומים חלקיים.
לחשב את הביטוי הכלליבי לאיבר ה-n בסדרה.
להראות שסדרה היא חשבונית על ידי בדיקת הפרש בין איברים סמוכים.
הכרת סכומים חלקיים של סדרה: נתונה סדרה עם סכום האיברים הראשון, השני וכן הלאה. מחשבים את האיברים לפי ההפרש בין סכומים חלקיים.
חישוב ביטוי לאיבר ה-n: מציבים את ביטוי הסכום של האיברים ומוצאים נוסחה לאיבר ה-n על ידי חיסור בין סכומים חלקיים בנקודות n ו-n-1.
הוכחת הסדרה כסדרה חשבונית: בוחנים את הפרש האיברים הסמוכים (A_n - A_{n-1}), ואם הפרש זה קבוע הסדרה היא חשבונית.

תרגול קצר

חשב את האיברים הראשונים של הסדרה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה סדרה שהסכום של n האיברים הראשונים הוא S_n = 2n^2 + 3n. חשבו את חמשת האיברים הראשונים A_1 עד A_5.

סדרותסכום חלקיאיברים

רמז: חשבו את S_1, S_2, ... והשתמשו בנוסחה A_n = S_n - S_{n-1}.

פתרון מלא

תשובה סופית: איברי הסדרה הם: 5, 9, 13, 17, 21

חישובים: S_1=5, S_2=14, S_3=27, S_4=44, S_5=65 A_1=S_1=5 A_2=S_2 - S_1=14 - 5=9 A_3=27 - 14=13 A_4=44 - 27=17 A_5=65 - 44=21

מצא את הנוסחה הכללית לאיבר ה-n

רמת קושי: בינוני

ממתין

בהינתן S_n = 2n^2 + 3n, מצא את הנוסחה הכללית של A_n לפי המשתנה n.

נוסחה כלליתסדרות

רמז: חשב את S_{n-1} והשתמש בנוסחה A_n = S_n - S_{n-1}.

פתרון מלא

תשובה סופית: A_n = 4n + 1

S_{n-1} = 2(n-1)^2 + 3(n-1) = 2(n^2 - 2n +1) + 3n - 3 = 2n^2 - 4n + 2 + 3n - 3 = 2n^2 - n - 1 אז A_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 + 3n) - (2n^2 - n - 1) = 2n^2 + 3n - 2n^2 + n + 1 = 4n + 1

הוכח שהסדרה היא חשבונית

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בהינתן A_n=4n+1, הוכח שהסדרה היא חשבונית והמצא את ההפרש הקבוע d.

הוכחהפרש קבועסדרה חשבונית

רמז: חישב את A_n - A_{n-1} והראה שהתוצאה קבועה.

פתרון מלא

תשובה סופית: d = 4, הסדרה חשבונית

A_{n-1} = 4(n-1) + 1 = 4n - 4 + 1 = 4n - 3 הפרש: A_n - A_{n-1} = (4n + 1) - (4n - 3) = 4 מכאן הסדרה היא חשבונית עם הפרש קבוע d=4.

מתן איברים של סדרה

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה סדרה שהסכום של נ איברים ראשונים הוא S_n = 2n^2 + 3n. חשב את A_3 ו-A_4.

סדרותשאלות בגרות

רמז: השתמש בנוסחה A_n = S_n - S_{n-1} והציב את הערכים המתאימים.

פתרון מלא

תשובה סופית: A_3=13, A_4=17

S_3=27 S_2=14 A_3=S_3 - S_2=27 -14=13 S_4=44 A_4=S_4 - S_3=44 - 27=17

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל - מציאת איבר כללי בסדרה

חישוב האיבר ה-n מהסכום הנתון והוכחה שהסדרה חשבונית

8 תחנות6 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נוסחה לאיבר ה-n A_n / הוכחה שהסדרה חשבונית / חישוב ההפרש הקבוע d
נתון 1
נתון 1
S_n = 2n^2 + 3n
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את הפונקציה S_{n-1}, נחסר בין S_n ל-S_{n-1} כדי למצוא את A_n, ולאחר מכן נבדוק האם ההפרש בין
נוסחה
הציב n-1 בנוסחה של S_n.
S_(n-1) = 2 * (n-1)^2 + 3 * (n-1)S_n-1 = 2(n-1)^2 + 3(n-1)
משוואה
יש את הנוסחה S_n = 2n^2 + 3n.
יש את הנוסחה S_n = 2n^2 + 3n.
פישוט
פתח וחשב את הביטוי: 2(n-1)^2 + 3(n-1).
פתח וחשב את הביטוי: 2(n-1)^2 + 3(n-1).
תוצאה
מסיימים בתשובה
חשב d=A_n - A_{n-1} והראה שהתוצאה קבועה.
בדיקה
בדיקה קצרה
- הבנת ההבדל בין סכום חלקי לאיבר בודד.
- יכולת להציב ערכים בנוסחאות ולקבל ביטויים מפושטים.
- זהירות: לא לציין שהסדרה חשבונית רק על סמך תחושה, ללא הוכחה מפורשת.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הסכום של n האיברים הראשונים

מה עושים

יש את הנוסחה S_n = 2n^2 + 3n.

למה

זו נקודת המוצא לפתרון.

הסכום של האיברים הראשונים מובא כנוסחה מפורשת.

בחירת שיטה

הבנת הקשר בין סכומים לאיברים

מה עושים

הבנה שאיבר A_n הוא ההפרש S_n - S_{n-1}.

למה

אנחנו משתמשים בנוסחה זו כדי לנתח את הסדרה.

הזהות בין סכום וחיסור מסכומים מתארת את האיברים בסדרה.

נוסחה / הצבה

A_n = S_n - S_(n-1)A_n = S_n - S_n-1

שימו לב לשים סוגריים נכונים.

בניית משוואה

חשב את S_{n-1}

מה עושים

הציב n-1 בנוסחה של S_n.

למה

צריך לבנות ביטוי לסכום עד n-1 כדי לחשב את A_n.

נציב בנוסחה את n-1 במקום n ופתח סוגריים.

נוסחה / הצבה

S_(n-1) = 2 * (n-1)^2 + 3 * (n-1)S_n-1 = 2(n-1)^2 + 3(n-1)

פתחו בזהירות את החזקות והכפילו.

פתרון

פשט את הביטוי של S_{n-1}

מה עושים

פתח וחשב את הביטוי: 2(n-1)^2 + 3(n-1).

למה

פישוט יאפשר חיסור קל בין ביטויים.

מחשב את הביטוי כדי לקבל נוסחה פשוטה.

הפעולות כוללות ריבוע, כפל וחיבור.

פתרון

חשב את A_n

מה עושים

חשב את A_n=S_n - S_{n-1} עם הביטויים שברשותך.

למה

זהו האיבר ה-n של הסדרה.

הפרש בין שני סכומים חלקיים.

הקפידו על סדר פעולות נכון.

פתרון

בדוק שהפרש בין איברים קבוע

מה עושים

חשב d=A_n - A_{n-1} והראה שהתוצאה קבועה.

למה

הוכחת הסדרה כחשכונית תלויה בפרש קבוע.

חישוב הפרשי ערכי האיברים הסמוכים.

הצמד את n-1 במקום n בביטוי של A_n לחישוב A_{n-1}.

פתרונות כלליים

חשב את האיברים הראשונים של הסדרה: חישובים: S_1=5, S_2=14, S_3=27, S_4=44, S_5=65 A_1=S_1=5 A_2=S_2 - S_1=14 - 5=9 A_3=27 - 14=13 A_4=44 - 27=17 A_5=65 - 44=21
מצא את הנוסחה הכללית לאיבר ה-n: S_{n-1} = 2(n-1)^2 + 3(n-1) = 2(n^2 - 2n +1) + 3n - 3 = 2n^2 - 4n + 2 + 3n - 3 = 2n^2 - n - 1 אז A_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 + 3n) - (2n^2 - n - 1) = 2n^2 + 3n - 2n^2 + n + 1 = 4n + 1
הוכח שהסדרה היא חשבונית: A_{n-1} = 4(n-1) + 1 = 4n - 4 + 1 = 4n - 3 הפרש: A_n - A_{n-1} = (4n + 1) - (4n - 3) = 4 מכאן הסדרה היא חשבונית עם הפרש קבוע d=4.
מתן איברים של סדרה: S_3=27 S_2=14 A_3=S_3 - S_2=27 -14=13 S_4=44 A_4=S_4 - S_3=44 - 27=17

הפריט הקודם הפריט הבא

א28. סדרה חשבונית פתרון תרגיל

ניווט לפי נושאים

סדרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא נוסחה לאיבר ה-n A_n / הוכחה שהסדרה חשבונית / חישוב ההפרש הקבוע d

נתון 1

הרעיון המרכזי

הציב n-1 בנוסחה של S_n.

יש את הנוסחה S_n = 2n^2 + 3n.

פתח וחשב את הביטוי: 2(n-1)^2 + 3(n-1).

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

הסכום של n האיברים הראשונים

הבנת הקשר בין סכומים לאיברים

חשב את S_{n-1}

פשט את הביטוי של S_{n-1}

חשב את A_n

בדוק שהפרש בין איברים קבוע

פתרונות כלליים