השיעור עוסק בזיהוי ופתרון בעיות סדרה חשבונית בעייתית, באמצעות הצבת נתונים וכתיבת משוואות לפירוק סכום של חלק מסדרה, במטרה למצוא איבר ראשון ואחרון בתשלום הדרגתי.
להבין מונחים בסיסיים בסדרה חשבונית כמו איבר ראשון, איבר אחרון והפרש.
לתרגם בעיה מילולית למשוואות מתמטיות המתארות סדרה חשבונית.
לפתור מערכות משוואות פשוטות כדי למצוא ערכים חסרים בסדרה.
ליישם מושגים בסדרה חשבונית למצבים מציאותיים, כגון תשלומים בהדרגה.
הצגת הבעיה והגדרת נתונים: המחיר של טלוויזיה ידוע וסכום התשלומים מחולק לסדרה חשבונית של שמונה איברים. נתון כי חמשת התשלומים הראשונים מהווים חמש שישיות מהמחיר.
פענוח והגדרת משתנים: נותנים שם לאיברים בסדרה: A1 (תשלום ראשון) והפרש D. מגדירים ש-A1 הוא האיבר הראשון בסדרה ו-D ההפרש הקבוע בין התשלומים.
כתיבת משוואות מהנתונים: משחזרים את הנתונים למשוואות לביטוי סכום חלקי הסדרה ואת סכום כל התשלומים בסדרה כדי למצוא את A1 ו-D.

תרגול קצר

חישוב תשלום ראשון בתשלום בהדרגה

רמת קושי: קל

ממתין

מחיר טלוויזיה הוא 1,800 ש"ח, התשלום מתבצע ב-8 תשלומים לפי סדרה חשבונית. חמש התשלומים הראשונים מהווים 5/6 מסכום המחיר. מצא את התשלום הראשון בתשלום.

סדרה חשבוניתסכום סדרהתשלום בהדרגה

רמז: כתוב את נוסחת סכום חמשת האיברים הראשונים וחבר נוסחאות עם נתוני הסדרה.

פתרון מלא

תשובה סופית: התשלום הראשון הוא 100 ש"ח

נסמן את התשלום הראשון ב-A1 ואת ההפרש ב-D. סכום חמשת האיברים הראשונים הוא S5 = 5/2 * (2A1 + 4D). סכום כל 8 התשלומים הוא S8 = 8/2 * (2A1 + 7D) = 1800. כמו כן 5 התשלומים הראשונים שווים ל-5/6 מ-1800, כלומר 1500. כתיבה של שני המשוואות תאפשר פתרון מערכת לחיפוש A1 ו-D.

חישוב התשלום האחרון ומניית הפרש בסדרה

רמת קושי: בינוני

ממתין

בהינתן מחירים ותשלומים כמו בתרגיל הקודם, מצא את התשלום האחרון ואת ההפרש בין התשלומים.

סדרה חשבוניתפרשאיבר אחרון

רמז: השתמש בנוסחה a_n = a_1 + (n-1)d כדי למצוא את התשלום האחרון, ופתור עם המשוואות הקודמות.

פתרון מלא

תשובה סופית: התשלום האחרון הוא 350 ש"ח, הפרש בין התשלומים הוא 35 ש"ח

אחרי שמצאנו A1=100, נשתמש ב-S8 = 1800 ונציב בנוסחה כדי לחשב D. לאחר מכן נחשב את a_8 = A1 + 7D לקבלת התשלום האחרון.

פתרון מערכת משוואות בסדרה חשבונית

רמת קושי: בגרות

ממתין

פתור מערכת משוואות למציאת A1 ו-D על פי הנתונים הבאים: 2A1 + 7D = 450, 2A1 + 4D = 600.

מערכת משוואותסדרה חשבונית

רמז: הפחת בין שתי המשוואות כדי למצוא את D, ולאחר מכן חשב את A1.

פתרון מלא

תשובה סופית: A1 = 400, D = -50

מפחיתים משוואה 2 ממשוואה 1: (2A1+7D)-(2A1+4D) = 450 - 600 => 3D = -150 => D = -50. מחליפים ב-2A1 + 4D = 600: 2A1 + 4(-50) = 600 => 2A1 - 200 = 600 => 2A1 = 800 => A1 = 400.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל סכום תשלומים בסדרה חשבונית

מציאת התשלום הראשון והתשלום האחרון

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא התשלום הראשון (A1) / התשלום האחרון (a8) / ההפרש בין התשלומים (D)
נתון 1
מחיר כולל: 1800 ש"ח
נתון 2
מספר התשלומים: 8
נתון 3
נתון 3
חמש התשלומים הראשונים = 5/6 מהמחיר
רעיון
הרעיון המרכזי
נציב את הנתונים בנוסחאות סכום סדרה חשבונית ונפתור מערכת משוואות למציאת A1 ו-D.
נוסחה
נרשום משוואות לסכום 8 האיברים וסכום 5 האיברים.
S8 = 4 * (2A1 + 7D) = 1800S5 = 2.5 * (2A1 + 4D) = 1500
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
מפשטים ומוצאים ערכים של A1 ו-D.
מפשטים ומוצאים ערכים של A1 ו-D.
לפתור את המערכת:4 * (2A1 + 7D) = 1800

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת נתונים ראשוניים

מה עושים

מסמנים את מספר האיברים, המחיר, והחלק היחסי של הסכום.

למה

הכרת כל נתון חיוני לפתירת הבעיה.

מספר תשלומים = 8, סכום כל התשלומים = 1800, חמש תשלומים ראשונים = 5/6 מאותו סכום.

בחירת שיטה

הצבת משתנים לסדרה

מה עושים

מגדירים A1 כתשלום ראשון ו-D כהפרש בין תשלומים.

למה

משתנים אלו מאפשרים שימוש בנוסחת סכום סדרה חשבונית

משתנים A1 ו-D שמגדירים את הסדרה החשבונית

בניית משוואה

כתיבת משוואות סכום

מה עושים

נרשום משוואות לסכום 8 האיברים וסכום 5 האיברים.

למה

לפי הנתונים, סכום 5 איברים הוא 5/6 מסכום 8 איברים (1800 ש"ח).

S8 = 8/2 * (2A1 + 7D) = 1800 S5 = 5/2 * (2A1 + 4D) = 1500

נוסחה / הצבה

S8 = 4 * (2A1 + 7D) = 1800S5 = 2.5 * (2A1 + 4D) = 1500

חשוב לא לשכוח את הנוסחה לסכום סדרה חשבונית.

פתרון

פתירת מערכת המשוואות

מה עושים

מפשטים ומוצאים ערכים של A1 ו-D.

למה

מטרה למצוא את התשלום הראשון וההפרש בין התשלומים.

על ידי חילוץ וקיצור, מחלקים את המשוואות, ומפתרות הן את D והן את A1.

נוסחה / הצבה

לפתור את המערכת:4 * (2A1 + 7D) = 18002.5 * (2A1 + 4D) = 1500

השתמשו בשיטות אלגבריות לפתרון מערכת משוואות.

תשובה

מציאת התשלום הראשון והאחרון

מה עושים

מציגים את התשלום הראשון והאחרון לפי החישובים.

למה

כל תשלום בתשלום הדרגתי תלוי באיבר הראשון וההפרשים.

A1 = 100 ש"ח, D = 35 ש"ח, a8 = A1 + 7D = 345 ש"ח.

נוסחה / הצבה

a8 = A1 + 7D = 100 + 7 * 35 = 345

ודאו את התוצאות ע"י בדיקת סכום כל התשלומים.

פתרונות כלליים

חישוב תשלום ראשון בתשלום בהדרגה: נסמן את התשלום הראשון ב-A1 ואת ההפרש ב-D. סכום חמשת האיברים הראשונים הוא S5 = 5/2 * (2A1 + 4D). סכום כל 8 התשלומים הוא S8 = 8/2 * (2A1 + 7D) = 1800. כמו כן 5 התשלומים הראשונים שווים ל-5/6 מ-1800, כלומר 1500. כתיבה של שני המשוואות תאפשר פתרון מערכת לחיפוש A1 ו-D.
חישוב התשלום האחרון ומניית הפרש בסדרה: אחרי שמצאנו A1=100, נשתמש ב-S8 = 1800 ונציב בנוסחה כדי לחשב D. לאחר מכן נחשב את a_8 = A1 + 7D לקבלת התשלום האחרון.
פתרון מערכת משוואות בסדרה חשבונית: מפחיתים משוואה 2 ממשוואה 1: (2A1+7D)-(2A1+4D) = 450 - 600 => 3D = -150 => D = -50. מחליפים ב-2A1 + 4D = 600: 2A1 + 4(-50) = 600 => 2A1 - 200 = 600 => 2A1 = 800 => A1 = 400.

הפריט הקודם הפריט הבא

א17. סדרה חשבונית סכום סדרה פתרון תרגיל בעייה מציאותית

ניווט לפי נושאים

סדרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא התשלום הראשון (A1) / התשלום האחרון (a8) / ההפרש בין התשלומים (D)

מחיר כולל: 1800 ש"ח

מספר התשלומים: 8

נתון 3

הרעיון המרכזי

נרשום משוואות לסכום 8 האיברים וסכום 5 האיברים.

נבנה משוואה

מפשטים ומוצאים ערכים של A1 ו-D.

פתרון מפורט

הגדרת נתונים ראשוניים

הצבת משתנים לסדרה

כתיבת משוואות סכום

פתירת מערכת המשוואות

מציאת התשלום הראשון והאחרון

פתרונות כלליים