וידאו · נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית
א6. ניגזרות טכניקה טריגונומטרית
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- השיעור עוסק בנגזרות של פונקציות טריגונומטריות, כולל שימוש בזהויות טריגונומטריות והטכניקה לגזירת ביטויים המכילים חזקות וקבועים. כמו כן, מתואר השימוש ברדיאנים במחשבון למציאת ערכי נגזרות ונקודות משיק.
- להכיר זהויות טריגונומטריות בסיסיות ולעבוד איתן
- לגזור פונקציות טריגונומטריות עם חזקות ומקדמים פנימיים
- לזהות את הצורך בעבודה עם יחידות רדיאן ולא מעלות
- לתרגל הצבה של נקודות במשוואות וגזירה ידנית
- להשתמש במחשבון למטרות חישוב נגזרות והצבה בנקודות
- זהויות טריגונומטריות משמעותיות: הצגת זהויות טריגונומטריות בסיסיות כגון סינוס וקוסינוס של סכום זוויות, אשר מהוות כלי עזר חשוב בגזירת פונקציות טריגונומטריות.
- עבודה עם פונקציות בריבוע וגבייה של נגזרות: תרגול גזירת ביטוי של קוסינוס בריבוע של ביטוי ליניארי ושל סינוס בריבוע, תוך שימוש בכלל השרשרת והנגזרת של הפונקציות הטריגונומטריות.
- החשיבות של יחידות רדיאן: הסבר על חשיבות העבודה עם יחידות רדיאן במחברות ובמחשבים, מה שמאפשר חישובים נכונים של נגזרות ופונקציות טריגונומטריות.
- שימוש במחשבון לחישוב נגזרות והצבת ערכים: הדרכה מעשית לשימוש במחשבון מדעי במצבי רדיאן לחישוב ערכי פונקציות ונגזרות במיקומים שונים, כולל תיאור טעויות נפוצות בכתיבת קלט למחשבון.
תרגול קצר
גזירת קוסינוס בריבוע של ביטוי ליניארי
רמת קושי: קל
גזור את הביטוי f(x)=cos²(2x) וחישב את הנגזרת בנקודה x=π/2.
רמז: השתמש בכלל השרשרת: הנגזרת של cos היא מינוס סינוס ואל תשכח לגזור גם את הפנימי.
פתרון מלא
תשובה סופית: f'(π/2) = 0
נכתוב f(x) = (cos(2x))^2. לפי כלל החזקה והשרשרת, f'(x) = 2*cos(2x)*(-sin(2x))*2 = -4*cos(2x)*sin(2x). נציב x=π/2: cos(π) = -1, sin(π) = 0 לכן הערך שווה 0.
דרך הפתרון
גזירת פונקציית קוסינוס בריבוע
נגזרת הפונקציה f(x) = cos²(2x) והצבתה בנקודה π/2
מפת פתרון
- מטרה
למצוא הנגזרת של הפונקציה בנקודה הנתונה
- נתון 1
נתון 1
הפונקציה f(x) = cos²(2x) - נתון 2
נתון 2
הנקודה x = π/2 - רעיון
הרעיון המרכזי
לגזור את הפונקציה באמצעות כלל החזקה ושרשרת ולקבוע ערך הנגזרת בנקודה הנתונה.
- נוסחה
נכתוב f'(x) = 2 * cos(2x) * נגזרת cos(2x).
f'(x) = 2 * cos(2x) * d/dx cos(2x) - משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
- פישוט
נגזור cos(2x) לפי כלל השרשרת: נגזרת קוסינוס היא מינוס סינוס כפול נגזרת
נגזור cos(2x) לפי כלל השרשרת: נגזרת קוסינוס היא מינוס סינוס כפול נגזרת הפנימי 2.
d/dx cos(2x) = -sin(2x)*2 - תוצאה
מסיימים בתשובה
נציב x=π/2 לקבלת הערך f'(π/2) = -4 cos(π) sin(π) = 0.
f'(π/2) = -4 * cos(π) * sin(π) = 0
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
הפונקציה והנקודה
זיהוי נתונים
הפונקציה והנקודה
מה עושים
יש לנו את הפונקציה f(x) = cos²(2x) והנקודה שבה נחשב את הנגזרת x=π/2.
למה
כדי לחשב נגזרת בנקודה חייבים להכיר את הפונקציה ואת המיקום.
2בחירת שיטה
הפעלת כלל החזקה והשרשרת
בחירת שיטה
הפעלת כלל החזקה והשרשרת
מה עושים
נגזור את הפונקציה באמצעות כלל החזקה ושרשרת.
למה
פונקציה בחזקה מצריכה גזירה לפי כלל החזקה יצוייד בשרשרת של פונקציה פנימית.
3בניית משוואה
ייצוג הנגזרת לפי כלל החזקה
בניית משוואה
ייצוג הנגזרת לפי כלל החזקה
מה עושים
נכתוב f'(x) = 2 * cos(2x) * נגזרת cos(2x).
למה
לפי כלל החזקה, המעריך יורד והפונקציה מופיעה כחלק מנגזרת.
נוסחה / הצבה
f'(x) = 2 * cos(2x) * d/dx cos(2x)4פתרון
נגזרת cos(2x)
פתרון
נגזרת cos(2x)
מה עושים
נגזור cos(2x) לפי כלל השרשרת: נגזרת קוסינוס היא מינוס סינוס כפול נגזרת הפנימי 2.
למה
חשוב לזכור גזירה של פונקציה מורכבת מצריכה גזירה של הפנימי.
נוסחה / הצבה
d/dx cos(2x) = -sin(2x)*25פתרון
הרכבת הנגזרת הכוללת
פתרון
הרכבת הנגזרת הכוללת
מה עושים
מחליפים בביטוי ומפשטים f'(x) = 2 * cos(2x) * (-sin(2x)*2) = -4 cos(2x) sin(2x).
למה
פישוט משפר הבנה ומקל חישובים עתידיים.
נוסחה / הצבה
f'(x) = -4 cos(2x) sin(2x)6תשובה
הצבת הערך בנקודה
תשובה
הצבת הערך בנקודה
מה עושים
נציב x=π/2 לקבלת הערך f'(π/2) = -4 cos(π) sin(π) = 0.
למה
הצבה נותנת את שיפוע המשיק בנקודה.
נוסחה / הצבה
f'(π/2) = -4 * cos(π) * sin(π) = 0פתרונות כלליים
- גזירת קוסינוס בריבוע של ביטוי ליניארי: נכתוב f(x) = (cos(2x))^2. לפי כלל החזקה והשרשרת, f'(x) = 2*cos(2x)*(-sin(2x))*2 = -4*cos(2x)*sin(2x). נציב x=π/2: cos(π) = -1, sin(π) = 0 לכן הערך שווה 0.